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布爾巴基的著作

布爾巴基在集合論的基礎(chǔ)上用公理方法重新構(gòu)造整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。布爾巴基認為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓撲結(jié)構(gòu)。他們把全部數(shù)學(xué)看作按不同結(jié)構(gòu)進行演繹的體系。布爾巴基在《數(shù)學(xué)原本》(éléments de mathématique)的題名下分卷出版了如下專著：

最后的第9卷譜理論執(zhí)筆始于1983年，出版工程至此告終。只是在20世紀末，增補了交換代數(shù)的簇理論。

《數(shù)學(xué)原本》有七千多頁，是有史以來最大的數(shù)學(xué)巨著。徹底追求嚴格性和一般性的敘述方法被稱為“布爾巴基風(fēng)格”。

布爾巴基對嚴謹性的強調(diào)在當時產(chǎn)生了很大的影響。這與當時儒勒·昂利·龐加萊所強調(diào)的數(shù)學(xué)要依靠自由想像的數(shù)學(xué)直觀的說法分庭抗禮。布爾巴基的影響力隨時間而減弱，一個原因是由于布爾巴基的抽象并不顯得比發(fā)明者原初的想法更為有用，另一個原因是因為沒有包含像范疇論等重要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論。盡管范疇論是由布爾巴基的成員艾倫堡所創(chuàng)立，格羅滕迪克所推廣的，但是如果要容納范疇論，就不得不對已經(jīng)出版的著作進行根本性的改寫。

盡管布爾巴基的一部分著作在相應(yīng)的領(lǐng)域成了標準的參考書，但是那種近于嚴峻的表達方式使其難以成為教科書。布爾巴基書籍的鼎盛時期是在1950和1960年之間，那時很少有適合能用于研究生水平的關(guān)于純數(shù)學(xué)的教科書。

布爾巴基引入的記號有：? ? -->{\displaystyle \varnothing }空集表空集，黑板粗體字母表示數(shù)集（例如：N{\displaystyle \mathbb {N} }表示自然數(shù)集，Q{\displaystyle \mathbb {Q} 有理數(shù)有理數(shù)集 ，R{\displaystyle \mathbb {R} 實數(shù)示實數(shù)集，Z{\displaystyle \mathbb {Z} 整數(shù)示整數(shù)集），還發(fā)明了術(shù)語“單射”、“滿射”和“雙射”。

布爾巴基講座在戰(zhàn)后立即于巴黎開設(shè)，這個講座接連不斷地公開發(fā)表了各種綜述性論文，這些論文采用一種固定格式，用謹慎的風(fēng)格寫成。

布爾巴基成員

布爾巴基的早期成員時多時少。創(chuàng)始者五人全是巴黎高等師范學(xué)校出身，他們是安德烈·韋伊，昂利·嘉當，克勞德·謝瓦萊，讓·迪厄多內(nèi)和讓·戴爾薩特。當時有一個初級會議，會議記錄在布爾巴基檔案中有存檔：“欲知初級會議的詳情，請與“數(shù)學(xué)咨詢組”的利麗安·布利尤接洽”；成立時的其他四名成員是讓·庫朗，夏爾·埃雷斯曼，瑞內(nèi)·德·波塞爾和佐勒姆·門德勃羅，而讓·勒瑞和保羅·杜布萊依在布爾巴基宣布正式成立之前退出。其他較后參加的有名成員有勞朗·施瓦茨，讓-皮埃爾·塞爾，塞繆爾·艾倫伯格，亞歷山大·格羅滕迪克，塞爾日·蘭和羅杰·戈德門。

布爾巴基的最初目標是編撰一本改良的微積分教科書，不久他們就意識到有必要對整個數(shù)學(xué)進行一種綜合性的統(tǒng)一處理。當時，布爾巴基的成員身份是非公開的，團體內(nèi)情是相當保密的，他們甚至故意提供假消息為樂。在定期會議上，全體成員對提出的每一部書稿進行逐字逐句的嚴格討論。布爾巴基有一條規(guī)定，成員到50歲必須退休。

“布爾巴基”取名于在普法戰(zhàn)爭中法國敗將的名字；至于成為學(xué)派的名字是出于一堂數(shù)學(xué)課的惡作劇的傳聞，也可能與一座雕像有關(guān)。這一名稱還與希臘數(shù)學(xué)有關(guān)，因為名為布爾巴基的人具有希臘血統(tǒng)。從字面上也可以解釋這一名字暗示了歐幾里得傳統(tǒng)被移植到1930年代的法國，并對此寄予質(zhì)變的期望。

布爾巴基的觀點并非中性

十分明顯，布爾巴基的觀點雖然是“百科全書”式的，但卻從來沒有想要保持中立。恰好相反，他們把熱情傾注于整體一致性的展示，例如對希爾伯特的和公理主義的遺產(chǎn)的處理上。但對現(xiàn)存理論總要施行一種“接納變換”，例如把張量微積分改名成多線性代數(shù)，創(chuàng)建獨立于消元理論的交換代數(shù)，這在其前身理想理論時已成為主要傾向。希爾伯特在1890年代時已經(jīng)顯示對非構(gòu)造性方法的鐘愛，布爾巴基的行動使非構(gòu)造性方法變得更加具體。

在下面例舉的領(lǐng)域里布爾巴基有顯著的偏向：

計算性內(nèi)容不上議題，幾乎完全被省略

解決問題被認為次于公理

數(shù)學(xué)分析被“軟”處理，沒有“硬”計算

測度論掩蓋了拉東測度

組合學(xué)結(jié)構(gòu)被視為非結(jié)構(gòu)性的

邏輯只需最低限度（佐恩引理就已足夠）

應(yīng)用全無提起

并且（“這是很自然的” - cela va sans dire))沒有圖示。

數(shù)學(xué)家總是喜歡軼事傳奇。布爾巴基的數(shù)學(xué)史并不缺少學(xué)術(shù)性，而是缺少“英雄史觀”，歷史是由那些經(jīng)過奮斗而終于得到清晰公理的獲勝者寫成的。

布爾巴基的發(fā)言人迪厄多內(nèi)

對布爾巴基思想的公開討論，或者對布爾巴基的辯護，一般是由讓·迪厄多內(nèi)出面代表，他的最初身份是團體的“書記”，他以自己的名字發(fā)表文章。 在1977年寫成的“布爾巴基的選擇”（le choix bourbachique）一篇綜述中，他對當時展示分層結(jié)構(gòu)的“重要”數(shù)學(xué)的進展直言不諱。

他還廣泛地寫書：有微積分，也許是出于對原始目標或原稿的一種遲到的補償；另外還寫了不少關(guān)于代數(shù)幾何的題材。盡管迪奧多內(nèi)可以理直氣壯地談?wù)摬紶柊突陌倏迫珪絻A向和布爾巴基的傳統(tǒng);，例如在布爾巴基的例會中，像“安靜點，迪奧多內(nèi)！” (原文：tais-toi Dieudonné!)這樣直率的提醒多得數(shù)不清，但到底有多少人贊同他關(guān)于數(shù)學(xué)寫作和研究的論點還是一個疑問。尤其是塞爾，他經(jīng)常批評布爾巴基著作的書寫方式，倡導(dǎo)在法國對解題方面賦予最大的關(guān)心，特別是在布爾巴基主要課題之外的數(shù)論研究當中。

迪奧多內(nèi)在評述中說道，大多數(shù)的數(shù)學(xué)工作者都在打掃地板，為未來的波恩哈德·黎曼的直覺性發(fā)現(xiàn)清除視野。他指出公理方法可以作為解題工具，例如像亞歷山大·格羅滕迪克所做的那樣。但也有人認為他與格羅滕迪克關(guān)系過于密切，不是一位公正的評論者。帕爾·圖蘭在1970年菲爾茲獎頒獎儀式中對阿蘭·貝克進行的頒獎演說內(nèi)對于建立理論和解題的評論則被認為是傳統(tǒng)陣營在之后（四年前的1966年，格羅滕迪克在缺席的情況下被授予菲爾茲獎）的一次反擊。

布爾巴基的影響

最終布爾巴基宣言還是產(chǎn)生了影響，特別是在純數(shù)學(xué)的研究生教育上。詳見本百科全書的相關(guān)部分。

新數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)教學(xué)幾乎沒有影響。比如說文氏圖的使用，一直可以追溯到19世紀教學(xué)法。對微積分和離散數(shù)學(xué)的分界之爭至今熱狂不減當年。

布爾巴基在國際數(shù)學(xué)界的帶頭作用可能已被1960年代的波恩工作會議計劃所取代。

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