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形式定義

仿射簇

令 k 為代數(shù)封閉域并令A(yù)n{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}為 k 上的 n 維仿射空間。f∈ ∈ -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle f\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]} 借著代值可以視之為An{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}上的k{\displaystyle k}-值函數(shù)。對(duì)任何子集S? ? -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle S\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}，定義S{\displaystyle S}的零點(diǎn)為An{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}里使S{\displaystyle S}中所有元素取零值的點(diǎn)：

若存在S{\displaystyle S}使得V? ? -->An{\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}滿足V=Z(S){\displaystyle V=Z(S)}，則稱之仿射代數(shù)集。一個(gè)非空代數(shù)集V{\displaystyle V}被稱作不可約，當(dāng)且僅當(dāng)它無法被寫成兩個(gè)真代數(shù)子集的聯(lián)集。不可約仿射代數(shù)集稱作仿射代數(shù)簇。

借由將所有代數(shù)集定義為閉集，仿射簇可被賦與一個(gè)自然的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，稱之扎里斯基拓?fù)洹?/span>

給定V? ? -->An{\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}，令I(lǐng)(V){\displaystyle I(V)}為所有在V{\displaystyle V}上取零值的函數(shù)所成的理想：

對(duì)任意仿射代數(shù)集V{\displaystyle V}，其座標(biāo)環(huán)是多項(xiàng)式環(huán)對(duì)上述理想的商。

仿射簇之間的態(tài)射定義為多項(xiàng)式映射(f1,… … -->,fn):Am→ → -->An{\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n}):\mathbb {A} ^{m}\rightarrow \mathbb {A} ^{n}}的限制。

射影簇

令Pn{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}為 k{\displaystyle k} 上的 n 維射影空間。雖然k[X0,… … -->,Xn]{\displaystyle k[X_{0},\ldots ,X_{n}]}中的齊次多項(xiàng)式無法在齊次座標(biāo)上取值（因?yàn)辇R次坐標(biāo)系實(shí)際上是一個(gè)等價(jià)類），其零點(diǎn)卻可明確地定義。對(duì)任意齊次多項(xiàng)式集合 S{\displaystyle S}，定義其零點(diǎn)為

若存在S{\displaystyle S}使得V=V(S){\displaystyle V=V(S)}，則稱之射影代數(shù)集。不可約性的定義同前。不可約射影代數(shù)集稱作射影代數(shù)簇。

借著將所有代數(shù)集定為閉集，射影簇也賦有扎里斯基拓?fù)洹?/span>

給定V? ? -->Pn{\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{n}}，令I(lǐng)(V){\displaystyle I(V)}為所有在V{\displaystyle V}上取零的齊次多項(xiàng)式。對(duì)任意射影代數(shù)集V{\displaystyle V}，其齊次座標(biāo)環(huán)定義為多項(xiàng)式環(huán)對(duì)此理想的商，這是一個(gè)分次環(huán)。

射影代數(shù)集可由一組有限的仿射開集覆蓋。射影簇之間的映射f:X→ → -->Y{\displaystyle f:X\rightarrow Y}被稱作態(tài)射，當(dāng)且僅當(dāng)存在仿射開覆蓋? ? -->iVi=Y{\displaystyle \bigcup _{i}V_{i}=Y}及? ? -->jUij=f? ? -->1(Vi){\displaystyle \bigcup _{j}U_{ij}=f^{-1}(V_{i})}，使得每個(gè)f|Uij:Uij→ → -->Vi{\displaystyle f|_{U_{ij}}:U_{ij}\rightarrow V_{i}}都是多項(xiàng)式映射。

擬仿射簇與擬射影簇

一個(gè)仿射簇的開子集被稱作擬仿射簇（例如A2? ? -->{(0,0)}{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{(0,0)\}}，可證明它既非射影簇亦非仿射簇）；同理，一個(gè)射影簇的開子集被稱作擬射影簇。其間態(tài)射同樣定義作局部上的多項(xiàng)式映射。

擬射影簇同時(shí)涵括了仿射簇、擬仿射簇與射影簇，它也是經(jīng)典代數(shù)幾何學(xué)的基本范疇。一個(gè)擬射影簇容許一組拓?fù)浠?，使得其中每個(gè)開集都是仿射簇；在此意義下，我們說一個(gè)擬射影簇可由仿射簇黏合而來。

基本結(jié)果

仿射代數(shù)集V{\displaystyle V}是簇的充要條件是I(V){\displaystyle I(V)}為素理想；等價(jià)的說法是：V{\displaystyle V}是簇當(dāng)且僅當(dāng)其座標(biāo)環(huán)是整環(huán)。

每個(gè)非空仿射代數(shù)集都可以表成代數(shù)簇的聯(lián)集，使得此分解中的代數(shù)簇兩兩不相包含，且此表法唯一。

令k[V]{\displaystyle k[V]}表簇V{\displaystyle V}的座標(biāo)環(huán)，V{\displaystyle V}的維度是k[V]{\displaystyle k[V]}的分式環(huán)對(duì)k{\displaystyle k}的超越次數(shù)。

討論與推廣

上述定義與事實(shí)讓我們可以探討經(jīng)典代數(shù)幾何。如欲更進(jìn)一步（例如探討非代數(shù)封閉域上的代數(shù)簇），則需要一些根本的改變?，F(xiàn)行的代數(shù)簇概念較上述定義復(fù)雜，且適用于任何域K{\displaystyle K}：一個(gè)抽象代數(shù)簇是K{\displaystyle K}上的有限型分離整概形。

概形可表為有限個(gè)仿射概形沿著開集的黏合，而K{\displaystyle K}上的有限型仿射整概形不外就是仿射簇。因此我們可以沿著開集黏合有限多個(gè)K{\displaystyle K}上的仿射簇，從而得到抽象代數(shù)簇，且無須擔(dān)心它是否可嵌入射影空間。這也引起一個(gè)問題：我們可能會(huì)得到病態(tài)的對(duì)象，例如將A1? ? -->A1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\sqcup \mathbb {A} ^{1}}沿著A1? ? -->{0}{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}黏合，遂得到帶有兩個(gè)原點(diǎn)的仿射直線；是故要求分離性以排除之。

某些現(xiàn)代學(xué)者還去掉定義中的整性，只要求每個(gè)仿射開集的座標(biāo)環(huán)有平凡的冪零根。

上述的簇被稱作塞爾意義下的簇，因?yàn)樽?皮埃爾·塞爾的奠基之作Faisceaux algébriques cohérents（代數(shù)凝聚層）探討了這類簇。盡管現(xiàn)在已有更抽象的對(duì)象作輔助，它們?nèi)匀皇谴鷶?shù)幾何的踏腳石。

另一條推廣的進(jìn)路是容許可約代數(shù)集，所以其座標(biāo)環(huán)不一定是整域；這在技術(shù)上只是一小步，更重要的推廣是容許結(jié)構(gòu)層中有冪零元素；冪零元無法被看作座標(biāo)函數(shù)，也不影響拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。就范疇論觀點(diǎn)，為了構(gòu)造有限的射影極限（或構(gòu)造纖維積），就必須容許冪零元。幾何上而言，一個(gè)好的映射之纖維仍可能有“無窮小”結(jié)構(gòu)。亞歷山大·格羅滕迪克的概形論能融貫上述各種推廣，但一般的“概形”仍不如“簇”來得富有幾何直觀。

此外尚有稱作堆與代數(shù)空間的深入推廣。

參見

函數(shù)域

奇點(diǎn)

雙有理幾何

阿貝爾簇

動(dòng)形

概形

文獻(xiàn)

Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-90244-9. 

David Cox; John Little, Don O"Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms second edition. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94680-1. 引文格式1維護(hù)：冗余文本 (link)

David Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-0-387-94269-8. 

David Dummit; Richard Foote. Abstract Algebra third edition. Wiley. 2003. ISBN 978-0-471-43334-7. 引文格式1維護(hù)：冗余文本 (link)

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