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投影變形

經(jīng)過投影變形后的世界地圖，注意南北極的形狀都已經(jīng)拉長

可以用橢圓來說明地圖投影的變形

在使用投影時，可以在平面與球面之間建立相對應(yīng)函數(shù)關(guān)系，但是經(jīng)過投影后的平面并不能保持球面上的長度、角度和面積的原形。所以經(jīng)過投影的地圖只能在長度、角度和面積之中的一項不變形，而其他幾種變形，只能是變形值相對較小。

通常引進一個橢圓來說明地圖投影的變形。在地面上取一個極小的微分圓（面積可以忽略，因此可以看成一個平面），投影變形后將成為一個橢圓，這個橢圓稱作“變形橢圓”。利用這個橢圓，可以檢驗地圖投影的變形性質(zhì)和大小。

長度變形：可以使用長度比μ來表示。長度比是指地面上的微分線段經(jīng)過投影后的長度與原有長度的比值。值得注意的是，這與比例尺并非一個概念。長度比是一個變量，它隨著在地圖上位置的變化而變化。

面積變形：可以使用面積比Ρ來表示。面積比是指地面上的微分面積經(jīng)過投影后的大小與原有大小的比值。面積比也是一個變量。

角度變形：是指地面上的任意兩條線的夾角α與經(jīng)過投影后的角α′的差。由于地面上的一點可以引出無窮條方向線，因此角度變形一般指最大角度變形。

衡量上述投影變形可由下列公式給出 ：

h = 1 R ( ? ? --> x ? ? --> ? ? --> ) 2 + ( ? ? --> y ? ? --> ? ? --> ) 2 {\displaystyle h={\frac {1}{R}}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \phi }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \phi }}\right)}^{2}}}}}

k = 1 R cos ? ? --> ? ? --> ( ? ? --> x ? ? --> λ λ --> ) 2 + ( ? ? --> y ? ? --> λ λ --> ) 2 {\displaystyle k={\frac {1}{R\cos \phi }}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}}}}

sin ? ? --> θ θ --> ′ = 1 h k R 2 cos ? ? --> ? ? --> ( ? ? --> y ? ? --> ? ? --> ? ? --> x ? ? --> λ λ --> ? ? --> ? ? --> x ? ? --> ? ? --> ? ? --> y ? ? --> λ λ --> ) {\displaystyle \sin \theta "={\frac {1}{hk{R^{2}}\cos \phi }}\left({{\frac {\partial y}{\partial \phi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial x}{\partial \phi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}\right)}

a ′ = h 2 + k 2 + 2 h k sin ? ? --> θ θ --> ′ {\displaystyle a"={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}+2hk\sin \theta "}}}

b ′ = h 2 + k 2 ? ? --> 2 h k sin ? ? --> θ θ --> ′ {\displaystyle b"={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}-2hk\sin \theta "}}}

a = a ′ + b ′ 2 {\displaystyle a={\frac {a"+b"}{2}}}

b = a ′ ? ? --> b ′ 2 {\displaystyle b={\frac {a"-b"}{2}}}

s = h k sin ? ? --> θ θ --> ′ {\displaystyle s=hk\sin \theta "}

ω ω --> = 2 arcsin ? ? --> ( b ′ / a ′ ) {\displaystyle \omega =2\arcsin \left({b"/a"}\right)}

其中， x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 為投影平面上的坐標(biāo)， ? ? --> {\displaystyle \phi } 和 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為緯度和經(jīng)度， h {\displaystyle h} 和 k {\displaystyle k} 表示在給定位置沿著緯度線和經(jīng)度線方向的變形， a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 表示給定位置的最大變形和最小變形，用來表征長度變形， s {\displaystyle s} 用來表征面積變形， ω ω --> {\displaystyle \omega } 用來表征角度變形。

上述公式需要通過微分計算，才能得到 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 s {\displaystyle s} 和 ω ω --> {\displaystyle \omega } ， 用于衡量地圖投影的變形。

若不采用微分計算，則可以通過下述公式中的 ρ ρ --> C P ( i ) {\displaystyle {\rho _{CP}}\left(i\right)} ， 近似地衡量角度變形 ω ω --> {\displaystyle \omega } 。

ρ ρ --> C P ( i ) {\displaystyle {\rho _{CP}}\left(i\right)} 被稱作互補側(cè)面比率的均值（Averaged ratio between complementary profiles，AveRaComp）。 AveRaComp由兩部分構(gòu)成， ρ ρ --> ~ ~ --> D 3 ( i ) {\displaystyle {{\tilde {\rho }}_{D3}}\left(i\right)} 表征了對角線的長度比， ρ ρ --> ~ ~ --> D 3 ( i ) {\displaystyle {{\tilde {\rho }}_{D3}}\left(i\right)} 表征了對角線之間的夾角。

計算AveRaComp時，首先在投影平面上均勻地劃分出 N = n 2 {\displaystyle N=n^{2}} 個網(wǎng)格， 然后，通過逆投影變換，將投影平面上第 i {\displaystyle i} 個網(wǎng)格的四個角點，變換到球面（或橢球體）上，記球面（或橢球體）上的點為 P j {\displaystyle P_{j}} ， j = 1 , ? ? --> , 4 {\displaystyle j=1,\cdots ,4} 。 網(wǎng)格 i {\displaystyle i} 在投影平面上網(wǎng)格的中心點，經(jīng)過逆投影變換得到的球面（或橢球體）上的點，記作 P ? ? --> {\displaystyle P_{*}} 。

ω ω --> ≈ ≈ --> ρ ρ --> ~ ~ --> C P ( i ) = [ ρ ρ --> ~ ~ --> D 3 ( i ) + ρ ρ --> ~ ~ --> α α --> ( i ) ] / 2 {\displaystyle \omega \approx {{\tilde {\rho }}_{CP}}\left(i\right)=\left[{{{\tilde {\rho }}_{D3}}\left(i\right)+{{\tilde {\rho }}_{\alpha }}\left(i\right)}\right]/2}

ρ ρ --> ~ ~ --> D 3 ( i ) = max ( | P 1 P ? ? --> → → --> | + | P ? ? --> P 3 → → --> | , | P 2 P ? ? --> → → --> | + | P ? ? --> P 4 → → --> | ) min ( | P 1 P ? ? --> → → --> | + | P ? ? --> P 3 → → --> | , | P 2 P ? ? --> → → --> | + | P ? ? --> P 4 → → --> | ) {\displaystyle {{\tilde {\rho }}_{D3}}\left(i\right)={\frac {\max \left({\left|{\overrightarrow {{P_{1}}{P_{*}}}}\right|+\left|{\overrightarrow {{P_{*}}{P_{3}}}}\right|,\left|{\overrightarrow {{P_{2}}{P_{*}}}}\right|+\left|{\overrightarrow {{P_{*}}{P_{4}}}}\right|}\right)}{\min \left({\left|{\overrightarrow {{P_{1}}{P_{*}}}}\right|+\left|{\overrightarrow {{P_{*}}{P_{3}}}}\right|,\left|{\overrightarrow {{P_{2}}{P_{*}}}}\right|+\left|{\overrightarrow {{P_{*}}{P_{4}}}}\right|}\right)}}}

ρ ρ --> ~ ~ --> α α --> ( i ) = cot ? ? --> ( 1 2 arccos ? ? --> | P 1 P 3 → → --> | P 1 P 3 → → --> | ? ? --> P 2 P 4 → → --> | P 2 P 4 → → --> | | ) {\displaystyle {{\tilde {\rho }}_{\alpha }}\left(i\right)=\cot \left({{\frac {1}{2}}\arccos \left|{{\frac {\overrightarrow {{P_{1}}{P_{3}}}}{\left|{\overrightarrow {{P_{1}}{P_{3}}}}\right|}}\cdot {\frac {\overrightarrow {{P_{2}}{P_{4}}}}{\left|{\overrightarrow {{P_{2}}{P_{4}}}}\right|}}}\right|}\right)}

其中， i {\displaystyle i} 為位于投影平面上的給定網(wǎng)格的編號， i = 1 , ? ? --> , N {\displaystyle i=1,\cdots ,N} ， N {\displaystyle N} 為劃分網(wǎng)格的總數(shù)， P s P t → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {{P_{s}}{P_{t}}}}} 表示連接點 P s {\displaystyle P_{s}} 和點 P t {\displaystyle P_{t}} 的向量。

投影方法和分類

投影方法分為幾何投影法和數(shù)學(xué)解析法。幾何投影法是按照幾何原理繪制的投影變形，適用于比較簡單的投影，比如球心正軸方位投影；而數(shù)學(xué)解析法是利用笛卡爾提出的解析幾何理論繪制的投影變形，適用于比較復(fù)雜的投影，比如等角正軸方位投影。

球心正軸方位投影的畫法示意圖

到目前為止，還沒有一個對地圖投影分類的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。實際上，通常是按照構(gòu)成方法或構(gòu)成性質(zhì)把地圖投影分類。

如果按照構(gòu)成方法分類，可以分成幾何投影和非幾何投影。幾何投影源于幾何透視原理。以幾何特征為依據(jù)，將地球上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到可以展開的平面（如圓錐、圓柱等）上，可以構(gòu)成方位投影、圓柱投影（麥卡托投影法）和圓錐投影（亞爾勃斯投影）。非幾何投影不借助輔助投影面，用數(shù)學(xué)解析法求出公式來確立地面與地圖上點的函數(shù)關(guān)系，有偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影（彭納投影）和多圓錐投影。

按照構(gòu)成性質(zhì)分類，可以分為等角投影（正形投影）、等積投影以及任意投影。

目前主要的投影方式主要有方位角（Azimuthal）與方位投影（Azimuthal Equidistant）、正射切面投影（Orthographic）、球心切面投影（Gnomic）、球面透視切面投影（Stereographic）、心狀投影（Cordiform）、擬心狀投影（Pseudocordiform）、球狀投影（Globular）、梯形投影（Trapezoidal）以及橢圓形投影（Oval）。：

格林登投影

麥卡托投影法

亞爾勃斯投影

古德投影

彭納投影

毛爾威特投影

等角圓柱投影

等距圓錐投影

等角圓錐投影

等積方位投影

等角方位投影

等距投影

等差分緯線多圓錐投影

羅賓森投影

地圖投影的應(yīng)用

制圖的區(qū)域的位置、形狀和范圍，地圖的比例尺、內(nèi)容、出版方式影響了投影的種類。比如在極地就應(yīng)該是正軸方位投影，中緯地區(qū)使用正軸圓錐投影。

制作世界地圖時使用的彭納投影

制作地形圖通常使用高斯－克呂格投影，制作區(qū)域圖通常使用方位投影、圓錐投影、偽圓錐投影，制作世界地圖通常使用多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影。但通常而言，要依據(jù)實際情況具體選擇。

歷史

早使用投影法繪制地圖的是公元前3世紀(jì)古希臘地理學(xué)家埃拉托斯特尼，在這之前地圖投影曾用來編制星圖。他在編制以地中海為中心的當(dāng)時已知世界地圖，應(yīng)了經(jīng)緯線互相垂直的等距離圓柱投影。

1569年，佛蘭德地圖學(xué)家尼古拉斯·墨卡托首次采用正軸等角圓柱投影編制航海圖，使航海者可以不轉(zhuǎn)換羅盤方向，而采用直線導(dǎo)航。

喬凡尼·多美尼科·卡西尼設(shè)計用于三角測量的投影、蘭勃特提出的等角投影理論的蘭勃特投影和設(shè)計出的等角圓錐、等面積方位和等面積圓柱投影，使得十七、十八世紀(jì)的地圖投影具有時代的特點。

十九世紀(jì)，地圖投影主要保證大比例尺地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以適應(yīng)軍事制圖發(fā)展和地形測量擴大的需要，出現(xiàn)德國高斯設(shè)計提出的橫軸等角橢圓柱投影的高斯投影，這種投影法經(jīng)德國克呂格爾加以補充，成為高斯-克呂格爾投影。十九世紀(jì)末期，俄國一些學(xué)者對投影作了較深入地研究，對圓錐投影常數(shù)的確定提出了新見解，又提出了根據(jù)已知變形分布推求新投影和利用數(shù)值法求出投影坐標(biāo)的新方法。

參考資料

* 周占鰲. 新編地圖學(xué)教程. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-007263-1.

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