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簡(jiǎn)介

層用于拓?fù)洌鷶?shù)幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個(gè)開集變化的代數(shù)數(shù)據(jù)，就可以用層。他們是研究局部有變化（依賴于所選開集的）的對(duì)象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質(zhì)的實(shí)體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函數(shù)，流形，等等。

作為一個(gè)典型的例子，考慮拓?fù)淇臻gX,對(duì)于每個(gè)X中的開集U，令F(U)為所有連續(xù)函數(shù)U → R的集合。如果V是U的開子集，則U上的函數(shù)可以限制到V上，而我們得到映射F(U) → F(V)。"粘合"描述了下列過程：假設(shè)Ui是給定的開集其并為U，對(duì)于每個(gè)i我們給定一個(gè)元素fi ∈ F（Ui），一個(gè)連續(xù)函數(shù)fi : Ui → R。如果這些函數(shù)在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個(gè)連續(xù)函數(shù)f : U → R，它和所有給定的函數(shù)fi一致。所有集合F(U)的類和限制映射F(U) → F(V)成為一個(gè)X上的集合的層。進(jìn)一步的，每個(gè)F(U)是一個(gè)交換環(huán)，而限制映射是環(huán)同態(tài)，這使F成為X上的環(huán)的層。

作為很相似的例子，考慮一個(gè)微分流形X，對(duì)于X的每個(gè)開集U，令F(U)為所有可微函數(shù)U → R的集合。這里同樣的有粘合，并且我們得到X上的環(huán)的層。另一個(gè)X上的層是，對(duì)于X的每個(gè)開集U給定所有定義在U上的可微向量場(chǎng)的向量空間。限制和粘合向量場(chǎng)和函數(shù)上的操作一樣，然后我們得到流形X上的向量空間的層。

形式化定義

要定義層，我們分兩步進(jìn)行。第一步是引入預(yù)層的概念，它抓住了把局部信息和拓?fù)淇臻g聯(lián)系起來的思想。第二步是引入額外的公理，稱為粘合公理，它抓住了把局部信息粘合起來得到全局信息的想法。

預(yù)層的定義

假設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g，而C是一個(gè)范疇（這經(jīng)常是集合的范疇，交換群的范疇，交換環(huán)的范疇，或是一個(gè)固定的環(huán)上的模的范疇)。一個(gè)C中的對(duì)象在空間X上的預(yù)層（presheaf）由如下數(shù)據(jù)給出：

對(duì)于每個(gè)X中的開集，給定C中一個(gè)對(duì)象F（U）

對(duì)于每個(gè)開集之間的包含關(guān)系V ? U，給定范疇C中的一個(gè)態(tài)射resU,V : F(U) → F(V)。這稱為限制態(tài)射。該限制態(tài)射滿足以下兩點(diǎn)性質(zhì)：

這個(gè)定義可以用范疇論的術(shù)語很自然的表達(dá)。首先我們定義X上的開集的范疇為范疇TopX，其對(duì)象是X的開集而其態(tài)射為包含映射。TopX就成了和X的開子集上的偏序?相關(guān)的范疇。一個(gè)X上的C預(yù)層就是從TopX到C的反變函子。

若F是一個(gè)X上的C-值預(yù)層，而U是一個(gè)X的開子集，則F(U)稱為F在U上的截面。（這是因?yàn)楹屠w維叢的截面相似；參看下面的內(nèi)容）。若C是一個(gè)具體范疇，則F(U)的每個(gè)元素稱為一個(gè)截面。F(U)也常記為Γ（U,F）。

粘合公理

高層次的討論請(qǐng)參看主條目粘合公理

層是小開集上面的截面可以粘合成為大開集上的截面的預(yù)層。這里粘合公理會(huì)以一種要求C為一個(gè)具體范疇的形式給出。

令U為一個(gè)開集族{Ui}的并集。對(duì)于每個(gè)Ui，選定一個(gè)截面在Ui上的fi。我們稱fi是相容的如果對(duì)于每個(gè)i和j,

直觀的講，如果fi表示函數(shù)，這是在說任何兩個(gè)相容的函數(shù)在它們重疊的地方一致。層公理說我們可以從fi產(chǎn)生一個(gè)唯一的U上的截面f，其到每個(gè)Ui的限制為fi,也即，resU,Ui(f)=fi。有時(shí)，這會(huì)分為兩個(gè)公理，一個(gè)保證存在性，而另一個(gè)保證唯一性。

例子

除了簡(jiǎn)介中給出的連續(xù)函數(shù)的層，可微函數(shù)的層和向量場(chǎng)的層之外，截面的層也是很重要的例子。假設(shè)E和X為拓?fù)淇臻g而π : E → X是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)于X中的每個(gè)開集U，令F(U)為使得π(f(x)) = x對(duì)于所有U中的x成立的所有連續(xù)映射f : U → E的集合。這樣的函數(shù)f稱為π的截面。不難驗(yàn)證F是X上集合的層。實(shí)際上，每個(gè)X上集合的層基本上都是這個(gè)類型，對(duì)于某一個(gè)特殊的映射π來說;參看下面的內(nèi)容。

給定一個(gè)X上的層F on X,F(X)的元素也稱為全局截面，這是一個(gè)從上面的例子中來的術(shù)語。

進(jìn)一步的例子：

任何纖維叢產(chǎn)生一個(gè)集合的層，通過取截面就可以得到。

賦環(huán)空間是有賦交換環(huán)層的空間；特別重要的有局部賦環(huán)空間，其中每個(gè)莖（參看下面）是局部環(huán)。

概形是特殊的局部賦環(huán)空間，在代數(shù)幾何中很重要；模的層在相關(guān)理論中很重要。

層的態(tài)射

令F和G為X上兩個(gè)層，都在范疇C中取值。我們定義從G到F的態(tài)射為一族在范疇C內(nèi)對(duì)于所有在X中的開U的態(tài)射φU : G(U) → F(U)，它們和限制映射可交換。也就是，下面的圖必須可交換

對(duì)于X中的每一對(duì)開集U ? V。若F和G視為從TopX到C的反變函子，則它們之間的態(tài)射不過就是一個(gè)自然變換（natural transformation）。采用這個(gè)定義，所有X上的C-值層構(gòu)成一個(gè)范疇（一個(gè)函子范疇）。X上的層的一個(gè)同構(gòu)就是這個(gè)范疇里的一個(gè)同構(gòu)。

可以把這個(gè)概念推廣到不同空間上的層之間的態(tài)射。令f : X → Y為一個(gè)兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)函數(shù)，并令F為X上的層且G為Y上的層，二者都在C中取值。那么從G到F的相對(duì)于f的態(tài)射為一族態(tài)射φU : G(U) → F(f(U))對(duì)于Y中每個(gè)開集U，使得圖

對(duì)于Y中每一對(duì)開集U ? V可交換。前面的定義是f是X上的恒等映射時(shí)的特殊情況。

在一般情況中范疇理論的表述稍微復(fù)雜一點(diǎn)。令Top為從拓?fù)淇臻g范疇Top到小范疇范疇Cat的反變函子，它把每個(gè)拓?fù)淇臻gX映到其開集的偏序集范疇TopX。這里Top(f)是一個(gè)反變函子，從TopY到TopX，把每個(gè)開集映到它的原象。把F和Top(f)復(fù)合，我們得到一個(gè)從TopY到C的反變函子。一個(gè)從G到F相對(duì)于f的態(tài)射就是從G到F ○ Top(f)的自然變換。

注意上面所有這些對(duì)于預(yù)層也成立。

層在一點(diǎn)的莖和函數(shù)的芽

固定X中一點(diǎn)x。我們要研究F在點(diǎn)x附近的行為。在分析術(shù)語中，我們要在越來越靠近點(diǎn)x時(shí)取某種極限。相應(yīng)的概念是F(N)在N跑遍x的以包含關(guān)系排序的領(lǐng)域時(shí)的有向極限（direct limit，用范疇論術(shù)語，這是一個(gè)余極限（colimit）的例子）。我們把該極限記為Fx并稱它為F在x的莖（stalk）。如果F是X上的C-值層，則莖Fx是C的一個(gè)對(duì)象，對(duì)于像交換群范疇或交換環(huán)范疇這樣的范疇來說。

對(duì)于任意包含x的開集U，存在一個(gè)從F(U)到Fx的態(tài)射。如果C是一個(gè)具體范疇，則應(yīng)用這個(gè)態(tài)射到Fx中的一個(gè)元素f上就得倒Fx的一個(gè)元素，稱為f在x的芽（germ）。

這和在數(shù)學(xué)的其他地方所用的函數(shù)的芽的概念對(duì)應(yīng)。直觀的講，函數(shù)f在x的芽決定了f在x的局部行為；它是f的一種幽靈，只在離x很近的地方可以看。參看局部環(huán)中給出的詳細(xì)例子。

對(duì)于某些層，芽的行為很好，可以給出好的局部信息；解析函數(shù)在一點(diǎn)附近的芽通過它的冪級(jí)數(shù)擴(kuò)張決定了函數(shù)在一個(gè)小領(lǐng)域的取值。但是，有些層行為不好；光滑函數(shù)的芽在任意一點(diǎn)都不決定任何一個(gè)該點(diǎn)的小領(lǐng)域的函數(shù)值。作為一個(gè)例子，取任何突起函數(shù)（bump function）。它在它為1的區(qū)間是常數(shù)函數(shù)的局部行為，但是知道突起函數(shù)在一點(diǎn)附近是常數(shù)1并不告訴你函數(shù)在哪里開始衰減；從它局部的行為，你甚至不能肯定它是一個(gè)突起函數(shù)!

層的平展空間

層論發(fā)展的早期，就證明了給定層X上的F和給定一個(gè)特定拓?fù)淇臻gE以及一個(gè)從E到X的連續(xù)函數(shù)一樣。更精確的講：對(duì)于一個(gè)X上的集合層F，存在一個(gè)局域同胚

使得F和上節(jié)例子中所述的π的截面層同構(gòu)。

進(jìn)一步的有，空間E是確定的，最多差一個(gè)F的同胚。這是F的莖空間：每個(gè)莖給了離散拓?fù)?，并且我們?nèi)∷星o的不交并，而π把所有的莖Fx映射到x。這個(gè)莖的空間的拓?fù)淇梢匀檫@樣一個(gè)拓?fù)洌沟脤覨可以從π截面的層中重建出來。

在高一級(jí)的抽象中，我們可以說X上的集合的層的范疇是等價(jià)于到X的局部同胚的范疇的。（也可以從可表示函子的理論的角度來考慮這樣一個(gè)空間；歷史表明這個(gè)理論也在1950年代中期發(fā)展出來）。

在Godement的深具影響的關(guān)于同調(diào)代數(shù)和層論的書中（Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux, R. Godement），空間E被稱為espace étalé(平展空間);在那本書中，層事實(shí)上定義為從局部同胚的截面得到；上面給出的函子方式的定義后來才出現(xiàn)，但現(xiàn)在更為普遍。

上面的考慮對(duì)于X上的C層也成立：我們還是從莖的空間出發(fā)，每個(gè)莖是C中的一個(gè)對(duì)象，而截面自然也成為C中的對(duì)象。

給定任意連續(xù)映射g : Z → X,相應(yīng)的截面的層給了上述方式的莖的空間E和一個(gè)局部同胚π : E → X。在某種意義上，這是處理映射g的所有"分支"，并且是以"盡可能最好的方式"。這可以用共軛函子表示；但是從某種意義上講層的更廣泛的概念遠(yuǎn)離了幾何直覺。

推廣

可以定義一個(gè)交換群的層的上同調(diào)理論（層上同調(diào)），它可以給出很多有用的更具體的信息。主要的問題是長(zhǎng)正合序列的存在性來自于層的一個(gè)正合序列。在應(yīng)用中，重點(diǎn)曾被放在比有限復(fù)空間更不行為良好的空間的層上。例如，代數(shù)幾何中有Zariski拓?fù)涞目臻g很少滿足豪斯多夫性質(zhì)。

代數(shù)幾何的情況最早是Jean-Pierre Serre（塞爾）通過發(fā)展Cech上同調(diào)的相似物來處理的；這樣做可以，但是一般來講這種構(gòu)造沒有好的性質(zhì)。然后格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）使用全局截面函子的導(dǎo)函子，給出了更權(quán)威的解決。

格羅滕迪克想要發(fā)展層的一個(gè)上同調(diào)理論，以得到更強(qiáng)的結(jié)果，并且，特別的有，能夠允許Weil猜想的證明。通過精確的分析定義層所需的X的性質(zhì)，他在一個(gè)范疇上定義了格羅滕迪克拓?fù)涞母拍睿ㄟ@有些兜圈子—參看拓?fù)渌估碚摰谋尘昂蛣?chuàng)立（background and genesis of topos theory））。

有格羅滕迪克拓?fù)涞囊粋€(gè)范疇稱為一個(gè)site（站）?？梢栽谌我庹旧隙x層的概念。站的概念后來導(dǎo)致Lawvere發(fā)展出基本拓?fù)渌沟母拍睢?/span>

歷史

層論最初的起源很難確認(rèn)—它們可能和解析延拓的思想共存。可以識(shí)別的獨(dú)立的層論才從上同調(diào)的基礎(chǔ)工作現(xiàn)大約花了15年的時(shí)間。

1936年Eduard ?ech引入神經(jīng)（Nerve）構(gòu)造，以將一個(gè)簡(jiǎn)單復(fù)形關(guān)聯(lián)到一個(gè)開覆蓋。

1938年Hassler Whitney給出上同調(diào)的一個(gè)"現(xiàn)代"定義，歸納了自J. W. Alexander和Kolmogorov首次定義余鏈（cochain）以來的工作。

1943年諾曼·斯廷羅德發(fā)表了關(guān)于帶局部系數(shù)的同調(diào)類的工作。

1945年Jean Leray發(fā)表了作為POW進(jìn)行的工作，由應(yīng)用到偏微分方程理論的不動(dòng)點(diǎn)定理的證明作為其動(dòng)機(jī)；它是層論和譜序列的開始。

1947年昂利·嘉當(dāng)在和安德烈·韋伊的通信中用層的方法重新證明了德拉姆定理。Leray在他的課程中通過閉集（后來的殼（carapaces）)給了一個(gè)層的定義。

1948年卡當(dāng)研討班首次寫下層論

1950年卡當(dāng)研討班的層論"第二版":使用了層空間（éspace étalé，平展空間）的定義，采用莖方面的結(jié)構(gòu)。支集和有支集的上同調(diào)被引入。連續(xù)映射導(dǎo)致了譜序列。同時(shí)Kiyoshi Oka在多復(fù)變量中引入和理想的層相似的思想。

1951年嘉當(dāng)研討班基于Oka的工作證明了定理A和B]。

1953年一致層的有限性定理在解析理論中由卡當(dāng)和塞爾證明，塞爾對(duì)偶性也得到了證明。

1954年塞爾的論文Faisceaux algébriques cohérents（發(fā)表于1955年）把層引入代數(shù)幾何。這些思想很快為Hirzebruch所采用，他在1956年寫了一本拓?fù)浞椒ǖ闹匾鳌?/span>

1955年格羅滕迪克在堪薩斯的講演中定義了可交換范疇和預(yù)層，然后使用單射解決（injective resolution）使得層上同調(diào)可以在所有拓?fù)淇臻g作為導(dǎo)函子直接使用。

1956年扎里斯基（Oscar Zariski）的報(bào)告代數(shù)層論，第二個(gè)夏季學(xué)院的科學(xué)報(bào)告：多復(fù)變量[1954年, Boulder (Col.)],第三部，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)公告, t. 62, 1956年, 117-141頁.

1957年格羅滕迪克的Tohoku論文重寫了同調(diào)代數(shù)；他證明了格羅滕迪克對(duì)偶性（也即，對(duì)于可能有奇點(diǎn)的代數(shù)簇的塞爾對(duì)偶性）。

1958年Godement關(guān)于層論的著作出版。大約同一時(shí)間Mikio Sato建議了他的超函數(shù)，它具有層論的本質(zhì)。

1957年以后：格羅滕迪克按照代數(shù)幾何的需要擴(kuò)展了層論，引入：概形和其上的一般層，局部上同調(diào)，導(dǎo)范疇（derived category，與Verdier的共同工作)，以及格羅滕迪克拓?fù)?。也出現(xiàn)了他極有影響的同調(diào)代數(shù)的"六操作"的概形思想。

至此，層成為數(shù)學(xué)的一個(gè)主流部分，其應(yīng)用根本不局限于代數(shù)拓?fù)?。后來層范疇的邏輯被發(fā)現(xiàn)是直覺邏輯（該發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在經(jīng)常被稱為Kripke-Joyal語義，但可能應(yīng)該歸功于一系列作者）。這表明層論的某些方面甚至可以追述到萊布尼茲。

參看

Gerbe

堆 (范疇論)

參考

Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Roger Godement

The Theory of Sheaves (University of Chicago Press,1964) R. G. Swan（concise lecture notes）

Sheaf Theory (London Math. Soc.Lecture Note Series 20, Cambridge University Press, 1975) B. R. Tennison（pedagogic treatment）

Sheaf Theory, 2nd Edition (1997) Glen E. Bredon（oriented towards conventional topological applications）

Sheaves in Geometry and Logic (Springer-Verlag, 1992) S. Mac Lane and I. Moerdijk（category theory and toposes emphasised）

Topological methods in algebraic geometry (Springer-Verlag, Berlin, 1995) F. Hirzebruch（updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power）

Sheaves on Manifolds (1990) M. Kashiwara and P. Schapira (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)

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