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例子

假設(shè)我們有一堆52張的撲克牌，并閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那么用概率論的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，我們實(shí)際上是在做一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。這時(shí)，我們的樣本空間是一個(gè)有著52個(gè)元素的集合，因?yàn)槿我庖粡埮贫际且粋€(gè)可能的結(jié)果。而一個(gè)隨機(jī)事件，則是這個(gè)樣本空間的任意一個(gè)子集。運(yùn)用組合知識(shí)可以知道，隨機(jī)事件一共有252{\displaystyle 2^{52}}種。當(dāng)這個(gè)事件僅僅包括樣本空間的一個(gè)元素（或者說(shuō)它是一個(gè)單元素集合）的時(shí)候，稱(chēng)這個(gè)事件為一個(gè)基本事件。比如說(shuō)事件“抽到的牌是黑桃7”。當(dāng)事件是空集時(shí)，稱(chēng)這個(gè)事件為不可能事件。當(dāng)事件是全集時(shí)，則稱(chēng)事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如：

“抽到的牌是小丑”（也是不可能事件）

“抽到的牌是紅桃3”（基本事件）

“抽到的牌數(shù)字是9”（包含4個(gè)元素）

“抽到的牌是方塊”（包含13個(gè)元素）

“抽到的牌是紅顏色的并且數(shù)字小于等于10”（包含20個(gè)元素）

“抽到的牌不是紅桃3”（包含51個(gè)元素）

由于事件是樣本空間的子集，所以也可以寫(xiě)成集合的形式。有時(shí)候?qū)懗杉系男问娇赡軙?huì)很困難。有時(shí)候也可以用文氏圖來(lái)表示事件，這時(shí)可以用事件所代表圖形的面積來(lái)按比例顯示事件的概率。

事件與概率空間

當(dāng)樣本空間有限，試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同的時(shí)候，稱(chēng)為古典概型。這時(shí)可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當(dāng)樣本空間不是有限的時(shí)候，特別是當(dāng)樣本空間是實(shí)數(shù)的時(shí)候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在于概率的定義。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)研究一個(gè)隨機(jī)事件的時(shí)候，我們希望知道它發(fā)生的概率。事件發(fā)生的概率是一個(gè)介于0和1之間的數(shù)。當(dāng)樣本空間是不可數(shù)的時(shí)候，如果我們?nèi)颖究臻g所有的子集，那么概率論的公理系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的矛盾，也就是說(shuō)，會(huì)有一些子集無(wú)法被定義概率。具體地說(shuō)，概率論的公理系統(tǒng)是由三個(gè)部分(Σ Σ -->,F,P){\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}組成的，又稱(chēng)為概率空間。這個(gè)空間包括：樣本空間Σ Σ -->{\displaystyle \Sigma }、事件集合F{\displaystyle {\mathcal {F}}}（又稱(chēng)為事件體）以及定義在這上面的一個(gè)取概率的運(yùn)算：P{\displaystyle \mathbb {P} }。其中的事件集合F{\displaystyle {\mathcal {Fσ-代數(shù)一個(gè)σ-代數(shù)，而取概率的運(yùn)算P{\displaystyle \mathbb {P} } 需加法足概率的加法公理（σ-Additive）：

這個(gè)公理是符合一般人的直覺(jué)的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那么“它們幾個(gè)中有一個(gè)發(fā)生”的概率應(yīng)該等于其中每一個(gè)發(fā)生的概率的和。

然而，對(duì)于不可數(shù)的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會(huì)有一些子集，無(wú)論怎樣為他們定義概率，都會(huì)違反加法公理。

一個(gè)反例

假設(shè)小明和小華玩一個(gè)游戲，讓小華隨意說(shuō)一個(gè)0到1之間的實(shí)數(shù)。小明為了研究概率，選擇了所有[0,1]的子集作為概率集合。他將所有的0到1之間的有理數(shù)取出來(lái)。由于0到1之間的有理數(shù)是可數(shù)集合，所以可以做標(biāo)號(hào)：q1,q2,? ? -->{\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots }。對(duì)于每一個(gè)0到1之間的實(shí)數(shù)a{\displaystyle a}，小明將a+q1,a+q2,? ? -->{\displaystyle a+q_{1},a+q_{2},\cdots }作為一個(gè)集合，如果其中有大于1的，就減去1。這個(gè)集合是由可數(shù)個(gè)數(shù)構(gòu)成的，小明把它記作Sa{\displaystyle S_{a}}。所有這些集合Sa{\displaystyle S_{a}}的并集是區(qū)間[0,1]，而它們之間兩兩不相交。然后將每個(gè)Sa{\displaystyle S_{a}}寫(xiě)成：

再令：

那么所得到的事件（也就是集合）T1,T2,? ? -->{\displaystyle T_{1},T_{2},\cdots }的并集也是區(qū)間[0,1]，而且它們之間兩兩不相交。由于這些事件之間地位相等，所以它們的概率P(Tn){\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})}都是一樣的。 如果P(Tn)>0{\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})>0}，那么根據(jù)加法原則，

而如果P(Tn)=0{\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})=0}，那么根據(jù)加法原則，仍然有：

因此無(wú)論如何，都會(huì)導(dǎo)致矛盾。也就是說(shuō)小明無(wú)法為事件T1{\displaystyle T_{1}}定出一個(gè)概率。在一般的測(cè)度理論中，這種集合稱(chēng)為（勒貝格）不可測(cè)集合。

事件之間的關(guān)系

兩個(gè)隨機(jī)事件之間可以有各種各樣的關(guān)系。

包含關(guān)系：通常用符號(hào)? ? -->{\displaystyle \subset }表示。一個(gè)事件A{\displaystyle A}包含另一個(gè)事件B{\displaystyle B}記作：B? ? -->A{\displaystyle B\subset A}。這時(shí)只要事件B{\displaystyle B}發(fā)生，那么事件A{\displaystyle A}也一定發(fā)生。這個(gè)關(guān)系其實(shí)就是集合論中的包含關(guān)系。舉之前撲克牌的例子來(lái)說(shuō)，假設(shè)事件A{\displaystyle A}是“抽出的牌上數(shù)字是8”，事件B{\displaystyle B}是“抽出的牌是梅花8”，那么事件A{\displaystyle A}包含事件B{\displaystyle B}：只要抽出的是梅花8，牌上的數(shù)字自然就是8。

等價(jià)關(guān)系：兩個(gè)事件對(duì)應(yīng)的子集完全相等，記作A=B{\displaystyle A=B}。例子：事件“抽出的牌花色是黑桃并且數(shù)字比3小并且數(shù)字是偶數(shù)”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等價(jià)的。

對(duì)立關(guān)系：兩個(gè)事件只能有一個(gè)發(fā)生，并且必然有一個(gè)發(fā)生，則它們是對(duì)立關(guān)系。這種關(guān)系對(duì)應(yīng)的集合論術(shù)語(yǔ)是“補(bǔ)集”。

互斥關(guān)系：兩個(gè)事件只能有一個(gè)發(fā)生，但并不必然有一個(gè)發(fā)生。這時(shí)也稱(chēng)兩個(gè)事件之間是互不相容的。

獨(dú)立事件

如果兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率的乘積，那么就稱(chēng)這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。比如說(shuō)，“抽到的牌是紅桃”和“抽到的牌數(shù)字是4”就是相互獨(dú)立的，因?yàn)閮烧咄瑫r(shí)發(fā)生——抽到的牌是紅桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是紅桃”的概率是4分之1，“抽到的牌數(shù)字是4”的概率是13分之1，兩者相乘便是52分之1。

參見(jiàn)

隨機(jī)變量

σ-代數(shù)

參考來(lái)源

葉俊 趙衡秀. 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》. 清華大學(xué)出版社. 2005. ISBN 7302041566 . 

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