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歷史

法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年創(chuàng)立了棣莫弗公式，并于1730年發(fā)表。

公式

當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)z以極坐標(biāo)形式表達(dá)，即z=r(cos? ? -->θ θ -->+isin? ? -->θ θ -->){\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}時(shí)，其n{\displaystyle n}次方為

其中n{\displaystyle n}屬于任何整數(shù)。

證明

歐拉公式

最簡(jiǎn)單的方法是應(yīng)用歐拉公式。

數(shù)學(xué)歸納法

正整數(shù)情形

證明的思路是用數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)的情形。

設(shè)命題為P(n)=(cos? ? -->θ θ -->+isin? ? -->θ θ -->)n=cos? ? -->(nθ θ -->)+isin? ? -->(nθ θ -->),n∈ ∈ -->N{\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} }

當(dāng)n=1

左式 =(cos? ? -->θ θ -->+isin? ? -->θ θ -->)1=cos? ? -->θ θ -->+isin? ? -->θ θ -->=cos? ? -->(1? ? -->θ θ -->)+isin? ? -->(1? ? -->θ θ -->)={\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=} 右式

因此 P(1)成立。

假設(shè)P(k){\displaystyle P(k)}成立，即(cos? ? -->θ θ -->+isin? ? -->θ θ -->)k=cos? ? -->(kθ θ -->)+isin? ? -->(kθ θ -->){\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )}

當(dāng)n=k+1{\displaystyle n=k+1}

因此，P(k+1){\displaystyle P(k+1)}也成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，? ? -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }，P(n){\displaystyle P(n)}成立。

負(fù)整數(shù)情形

只需運(yùn)用恒等式：

用棣莫弗公式求根

此定理可用來求單位復(fù)數(shù)的 n{\displaystyle n} 次方根。設(shè) |z|=1{\displaystyle |z|=1}，表為

若 wn=z{\displaystyle w^{n}=z}，則 w{\displaystyle w} 也可以表成：

按照棣莫弗公式：

于是得到

也就是：

當(dāng) k{\displaystyle k} 取 0,1,… … -->,n? ? -->1{\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}，我們得到 n{\displaystyle n} 個(gè)不同的根：

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