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麥克斯韋原本的方程

在這篇論文的標題為電磁場一般方程的第三章里，麥克斯韋列出了涉及二十個未知量的二十個方程，在那時期，稱為麥克斯韋方程組。由于矢量微積分尚在發(fā)展中，這二十個方程都是以分量形式表示，其中，有十八個方程可以用六個矢量方程集中表示（對應(yīng)于每一個直角坐標，有一個方程），另外剩下的兩個是標量方程。所以，以矢量標記，麥克斯韋方程組可以表示為八個方程。1884年，從這八個方程，奧利弗·亥維賽重新編排出四個方程，并且稱這一組方程為麥克斯韋方程組。今天廣泛使用的麥克斯韋方程組就是亥維賽編成的這一組方程。

亥維賽版本的麥克斯韋方程組是以現(xiàn)代矢量標記法寫出。在原先版本的八個方程里，只有一個方程，高斯定律的方程(G)，完整不變地出現(xiàn)于亥維賽版本。另外一個在亥維賽版本的方程，乃是由總電流定律的方程(A)與安培環(huán)路定理的方程(C)共同湊合而成。這方程包含了麥克斯韋的位移電流，是安培環(huán)路定理的延伸。

以矢量標記，麥克斯韋方程組的原先版本的八個方程，分別寫為

關(guān)于介質(zhì)的性質(zhì)，麥克斯韋并沒有試著處理比較復(fù)雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質(zhì)；他也稍微談到一些有關(guān)異向性的晶體物質(zhì)的問題。

值得注意的是，麥克斯韋將 μ μ -->v× × -->H{\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 項目包括于他的合勢方程(D)。這項速度達一個以速度 v{\displaystyle \mathbf {v} } 移動的導(dǎo)體所感受到的單位電荷的磁場力而產(chǎn)生的動生電動勢。這意味著合勢方程(D)表達了洛倫茲力。這方程最先出現(xiàn)為論文《論物理力線》的方程(77)，比洛倫茲想到這問題早了很多年?，F(xiàn)在，洛倫茲力方程列為麥克斯韋方程組之外的額外方程，并沒有被包括在麥克斯韋方程組里面。

光波是電磁波

麥克斯韋，電磁學(xué)之父

在論文《電磁場的動力學(xué)理論》里，麥克斯韋應(yīng)用了的1861年論文《論物理力線》第三節(jié)里對于安培環(huán)路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程合并，因而得到了描述電磁波的波動方程。最令人振奮的是，這方程所描述的波動的波速等于光波的速度。他于是說：

麥克斯韋在對于光波是一種電磁現(xiàn)象的推導(dǎo)里，并沒有使用法拉第電磁感應(yīng)定律，而是使用方程(D)來解釋電磁感應(yīng)作用。由于不考慮導(dǎo)體的運動，項目 μ μ -->v× × -->H{\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} } 可以。事實上，他的八個方程里，并沒有包括法拉第電磁感應(yīng)定律方程在內(nèi)。

由于麥克斯韋的推導(dǎo)比較冗長，現(xiàn)代的教科書已不再采用這推導(dǎo)，改而選擇另一種比較簡易了解的推導(dǎo)，這推導(dǎo)主要是使用麥克斯韋-安培定律（安培環(huán)路定理的延伸）與法拉第電磁感應(yīng)定律。

麥克斯韋的推導(dǎo)

假設(shè)電磁波是一個平面波，以波速 V{\displaystyle V} 向正z-軸的方向傳播于某介質(zhì)，則描述此電磁波的每一個函數(shù)都擁有參數(shù) w=z? ? -->Vt{\displaystyle w=z-Vt} 。根據(jù)磁矢量定義式(B)，

其中，B =def μ μ -->H{\displaystyle B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} } 是磁感應(yīng)強度的定義式。

注意到 Bz=0{\displaystyle B_{z}=0} ， 還有，B{\displaystyle \mathbf {B} } 垂直于平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據(jù)安培環(huán)路定理(C)，

假設(shè)介質(zhì)是個絕緣體，傳導(dǎo)電流密度 J{\displaystyle \mathbf {J} } 等于零，則根據(jù)總電流定律(A)和電彈性方程(E)，

假設(shè)導(dǎo)體的速度等于零，即動生電動勢項目等于零，則根據(jù)合勢方程(D)，

再應(yīng)用磁矢量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程：

鏈式法則要求

所以，

傳播的速度為

設(shè)定磁導(dǎo)率為磁常數(shù)μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}} ，電容率為電常數(shù)? ? -->0{\displaystyle \epsilon _{0}} ，則傳播速度是自由波傳播于自由空間的速度。

類似地，應(yīng)用合勢方程(D)，可以得到電場的波動方程：

注意到，Ez{\displaystyle E_{z}} 可能不等于零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質(zhì)之前，麥克斯韋不排除電場波為縱波的可能性。

現(xiàn)代推導(dǎo)

在自由空間里，亥維賽版的麥克斯韋方程組的四個微分方程為

其中，μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數(shù)，ε ε -->0{\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數(shù)。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，

應(yīng)用一則矢量恒等式

其中，Z{\displaystyle \mathbf {Z} } 是任意矢量函數(shù)。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程：

其中，c=c0=1μ μ -->0ε ε -->0=2.99792458× × -->108{\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}} ［米／秒］是電磁波傳播于自由空間的速度。

參閱

《論法拉第力線》

電磁波方程

彎曲時空中的麥克斯韋方程組

非齊次的電磁波方程

麥克斯韋應(yīng)力張量

麥克斯韋方程組的歷史

電磁學(xué)與經(jīng)點光學(xué)時間表(Timeline of electromagnetism and classical optics)

參考文獻

Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, March 1996, ISBN 1-57910-015-5 

Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk MaxwellVol. 1, New York: Dover, 1952 

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