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隨機性和柯氏復雜性

在1964年到1965年間，馬丁-洛夫曾在莫斯科大學學習，師從柯爾莫哥洛夫。在1966年發(fā)表的論文On the definition of random sequences中，他首次給出隨機序列的確切定義。

早期的研究者如理查德·馮·米澤斯曾嘗試形式化隨機性測試的概念，用以定義一個可通過所有隨機性測試的序列為隨機序列；然而，隨機性測試的確切概念仍未清晰。而馬丁-洛夫的開創(chuàng)性地運用了計算理論來形式化定義隨機性測試這一概念。該方法與概率論中對隨機性的定義大異其趣；在概率論中，取樣空間中任何一個特定的元素均不可能是隨機的。

在馬丁-洛夫工作的啟發(fā)之下，后來的算法信息論將所謂“隨機字符串”定義為一個不能夠被任何短于該字符串的計算機程序生成的字符串（蔡廷-柯爾莫哥洛夫隨機性），即一個柯氏復雜性不小于自身長度的字符串。由于統(tǒng)計學上的隨機性通常只關(guān)心產(chǎn)生字符串的過程，而算法隨機性關(guān)心的是字符串的內(nèi)在性質(zhì)。由此，算法信息論第一次明確地將“隨機”和“非隨機”、借由計算模型中的概念區(qū)分開了。

數(shù)理統(tǒng)計學

馬丁-洛夫在數(shù)理統(tǒng)計學領(lǐng)域的貢獻主要涉及模型選擇、指數(shù)族非線性模型和最大期望算法等。

邏輯學

哲學邏輯學

在哲學邏輯方面，馬丁-洛夫發(fā)表過關(guān)于蘊涵理論、判斷學說等方面的著作。他的研究興趣根植于中歐的哲學傳統(tǒng)，尤其是德語學者如弗朗茲·布倫塔諾、弗雷格，以及胡塞爾的哲學理論。

類型論

馬丁-洛夫長期從事數(shù)理邏輯的研究。

在1968年到1969年間，他在美國芝加哥大學擔任助理教授期間結(jié)識了邏輯學家威廉·霍華德（William Alvin Howard），并共同探討了后來被稱之為柯里-霍華德同構(gòu)（Curry–Howard correspondence）的論題。馬丁-洛夫在1971年完成了他最初的關(guān)于類型論研究的初稿，所提出的理論是非直謂性的，將吉拉德（Jean-Yves Girard）的系統(tǒng)F進行了一般化。然而，隨后由于吉拉德在研究系統(tǒng)U之后發(fā)現(xiàn)了吉拉德悖論，導致該理論不再廣泛適用。這激發(fā)了馬丁-洛夫?qū)τ陬愋驼撜軐W基礎(chǔ)的研究。

馬丁-洛夫開創(chuàng)的直覺類型論提出了依賴類型的概念，直接啟發(fā)了構(gòu)造演算（CoC）與LF邏輯框架的建立。一些流行的計算機證明系統(tǒng)和程序語言在此基礎(chǔ)上得以開發(fā)，包括：Coq、Agda、NuPRL、LEGO、Twelf 和 Epigram等。

榮譽

佩爾·馬丁-洛夫是瑞典皇家科學院以及歐洲科學院（Academia Europaea）的院士。

參見

直覺類型論

依賴類型

數(shù)學結(jié)構(gòu)主義

安德雷·柯爾莫哥洛夫

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