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微擾階數(shù)

攝動(dòng)理論的標(biāo)準(zhǔn)闡述主要是以微擾的階數(shù)來分辨：一階攝動(dòng)理論或二階攝動(dòng)理論。再來就是以微擾的簡并度來分辨：無簡并或有簡并。有簡并的攝動(dòng)，又稱為奇異攝動(dòng)（singular perturbation），比較難解，必須用到更進(jìn)階的理論。

一階無簡并攝動(dòng)理論

本段落講述微分方程的一階微擾理論。為了簡單易解，假設(shè)零微擾系統(tǒng)的解答是不簡并的。

一階本征值修正

許多常微分方程或偏微分方程可以表達(dá)為

其中，D{\displaystyle D\,\!}是某特定微分算子，λ λ -->{\displaystyle \lambda \,\!}是其本征值。

假設(shè)微分算子可以寫為

其中，? ? -->{\displaystyle \epsilon \,\!}是微小的度量。

又假設(shè)我們已知道D(0){\displaystyle D^{(0)}\,\!}的解答的完備集{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}；其中，解答fi(0)(x){\displaystyle f_{i}^{(0)}(x)\,\!}是D(0){\displaystyle D^{(0)}\,\!}的本征值為λ λ -->i(0){\displaystyle \lambda _{i}^{(0)}\,\!}的本征函數(shù)。用方程表達(dá)，

還有，這一集合的解答{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}形成一個(gè)正交歸一集：

其中，δ δ -->ij{\displaystyle \delta _{ij}\,\!}是克羅內(nèi)克函數(shù)。

取至零階，完全解g(x){\displaystyle g(x)\,\!}應(yīng)該相當(dāng)接近集合里一個(gè)零微擾解。設(shè)定這零微擾解為fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}。用方程表達(dá)，

其中，O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,\!}采用大O符號來描述函數(shù)的漸近行為。

完全解的本征值也可近似為

將完全解g(x){\displaystyle g(x)\,\!}寫為零微擾解的線性組合，

其中，除了cn{\displaystyle c_{n}\,\!}以外，所有的常數(shù)cm, m≠ ≠ -->n{\displaystyle c_{m},\ m\neq n\,\!}的值是O(? ? -->){\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}；只有cn{\displaystyle c_{n}\,\!}的值是O(1){\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}。

將公式 (2)代入公式 (1)，乘以fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}，利用正交歸一性，可以得到

這可以很容易地改變?yōu)橐粋€(gè)簡單的線性代數(shù)問題，一個(gè)尋找矩陣的本征值的問題：給予 ∑ ∑ -->mAnmcm=λ λ -->cn{\displaystyle \sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!}，求λ λ -->{\displaystyle \lambda \,\!}；其中，Anm{\displaystyle A_{nm}\,\!}是矩陣元素：

我們并不需要解析整個(gè)矩陣。注意到線性方程里的每一個(gè)cm{\displaystyle c_{m}\,\!}都是O(? ? -->){\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}；只有cn{\displaystyle c_{n}\,\!}的值是O(1){\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}。所以，取至? ? -->{\displaystyle \epsilon \,\!}一階，線性方程可以很容易地解析為

這就是一階攝動(dòng)理論的本征值解答。一階本征值數(shù)修正是

一階本征函數(shù)修正

取至一階，函數(shù)g(x){\displaystyle g(x)\,\!}可以用類似的推理求得。設(shè)定

那么，公式 (1)變?yōu)?/span>

取至一階，展開這方程。經(jīng)過一番運(yùn)算，可以得到

由于{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}是一個(gè)完備集，fn(1)(x){\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}可以寫為

請注意，這方程右手邊的總和表達(dá)式，并不含有fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}項(xiàng)目。任何fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}的貢獻(xiàn)，可以與公式 (4)的零階項(xiàng)目相合并。

將公式 (6)代入公式 (5)，可以得到

將這方乘式兩邊都乘以fj(0)(x){\displaystyle f_{j}^{(0)}(x)\,\!}，再隨著x{\displaystyle x\,\!}積分，利用正交歸一性，可以得到

稍加編排，改變下標(biāo)j{\displaystyle j\,\!}為m{\displaystyle m\,\!}。那么，一階本征函數(shù)修正fn(1)(x){\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}可以寫為

參閱

多體攝動(dòng)理論

^William E. Wiesel.Modern Astrodynamics. Ohio: Aphelion Press. 2010: 107. ISBN 978-145378-1470. 

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