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背景

伽利略變換與電磁學(xué)理論的不自洽

到19世紀(jì)末，以麥克斯韋方程組為核心的經(jīng)典電磁理論的正確性已被大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，但麥克斯韋方程組在經(jīng)典力學(xué)的伽利略變換下不具有協(xié)變性。而經(jīng)典力學(xué)中的相對(duì)性原理則要求一切物理規(guī)律在伽利略變換下都具有協(xié)變性。

以太假說(shuō)

為解決這一矛盾，物理學(xué)家提出了“以太假說(shuō)”，即放棄相對(duì)性原理，認(rèn)為麥克斯韋方程組只對(duì)一個(gè)絕對(duì)參考系（以太）成立。根據(jù)這一假說(shuō)，由麥克斯韋方程組計(jì)算得到的真空光速是相對(duì)于絕對(duì)參考系（以太）的速度；在相對(duì)于“以太”運(yùn)動(dòng)的參考系中，光速具有不同的數(shù)值 。

實(shí)驗(yàn)的結(jié)果——零結(jié)果

菲索實(shí)驗(yàn)的設(shè)置

邁克耳孫與莫雷的干涉儀設(shè)置，其安裝在一塊漂浮在圓形水銀槽上方。

但斐索實(shí)驗(yàn)和邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)表明光速與參考系的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果否定了以太假說(shuō)，表明相對(duì)性原理的正確性。洛倫茲把伽利略變換修改為洛倫茲變換，在洛倫茲變換下，麥克斯韋方程組具有相對(duì)性原理所要求的協(xié)變性。洛倫茲的假說(shuō)解決了上述矛盾，但他不能對(duì)洛倫茲變換的物理本質(zhì)做出合理的解釋。隨后數(shù)學(xué)家龐加萊猜測(cè)洛倫茲變換和時(shí)空性質(zhì)有關(guān)。

愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論

年輕的愛(ài)因斯坦在1905年（愛(ài)因斯坦奇跡年）發(fā)表了六篇?jiǎng)潟r(shí)代的論文。

愛(ài)因斯坦意識(shí)到伽利略變換實(shí)際上是牛頓經(jīng)典時(shí)空觀的體現(xiàn)，如果承認(rèn)“真空光速獨(dú)立于參考系”這一實(shí)驗(yàn)事實(shí)為基本原理，可以建立起一種新的時(shí)空觀（相對(duì)論時(shí)空觀）。在這一時(shí)空觀下，由相對(duì)性原理即可導(dǎo)出洛倫茲變換。1905年，愛(ài)因斯坦發(fā)表論文《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》，建立 狹義相對(duì)論 ，成功描述了在亞光速領(lǐng)域宏觀物體的運(yùn)動(dòng)。

狹義相對(duì)論的基本原理

光速不變?cè)怼?

在所有慣性系中，真空中的光速都等于 c = 1 μ μ --> 0 ? ? --> 0 = {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}=} 299 792 458 m/s（ μ μ --> 0 {\displaystyle \mu _{0}} ：真空磁導(dǎo)率， ? ? --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} ：真空介電常數(shù)），與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。

狹義相對(duì)性原理。

在所有慣性系中，物理定律有相同的表達(dá)形式。這是力學(xué)相對(duì)性原理的推廣，它適用于一切物理定律，其本質(zhì)是所有慣性系平權(quán)。

狹義相對(duì)論，是僅描述平直線性的時(shí)空（指沒(méi)有引力的，即閔可夫斯基時(shí)空）的相對(duì)論理論。牛頓的時(shí)空觀認(rèn)為運(yùn)動(dòng)空間是平直非線性的時(shí)空，可以用一個(gè)三維的速度空間來(lái)描述；時(shí)間并不是獨(dú)立于空間的單獨(dú)一維，而是空間坐標(biāo)的自變量。

狹義相對(duì)論同樣認(rèn)為空間和時(shí)間并不是相互獨(dú)立的，而它們應(yīng)該用一個(gè)統(tǒng)一的四維時(shí)空來(lái)描述，并不存在絕對(duì)的空間和時(shí)間。在狹義相對(duì)論中，整個(gè)時(shí)空仍然是平直線性的，所以在其中就存在“全局慣性系”。狹義相對(duì)論將“真空中，光速為常數(shù)”作為基本假設(shè)，結(jié)合狹義相對(duì)性原理和上述時(shí)空的性質(zhì)可以推出洛倫茲變換。

洛倫茲坐標(biāo)變換

狹義相對(duì)論中，洛倫茲變換描述時(shí)空中兩個(gè)慣性參考系的時(shí)間、空間坐標(biāo)之間的變換關(guān)系的。它最早由洛倫茲從以太說(shuō)推出，用以解決經(jīng)典力學(xué)與經(jīng)典電磁學(xué)間的矛盾（即邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的零結(jié)果）。后被愛(ài)因斯坦用于狹義相對(duì)論。

形式

當(dāng)兩個(gè)參考系s與s"在時(shí)刻t=0時(shí)重合，且s"相對(duì)s以速度v沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)事件在s系的坐標(biāo)(x,y,z,t)與在s"系的坐標(biāo)(x",y",z",t")滿足以下關(guān)系：

或使用矩陣乘法的形式，寫(xiě)作：

其中

用張量表示方法可以簡(jiǎn)單的表示為

x i ′ = a i j x j {\displaystyle x"_{i}=a_{ij}x_{j}}

其中 x i ′ = [ x ′ c t ′ ] {\displaystyle x"_{i}={\begin{bmatrix}x"\\ct"\end{bmatrix}}} ； x j = [ x c t ] {\displaystyle x_{j}={\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}}} ； a i j = [ γ γ --> ? ? --> β β --> γ γ --> ? ? --> β β --> γ γ --> γ γ --> ] {\displaystyle a_{ij}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma \\-\beta \gamma &\gamma \end{bmatrix}}}

推導(dǎo)

注意事項(xiàng)

洛倫茲變換要求t=0時(shí)，x=0，y=0，z=0，且相對(duì)速度僅有x分量。

時(shí)間膨脹（愛(ài)因斯坦延緩）

當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的一切（物理、化學(xué)變化）從參照系的角度來(lái)看都會(huì)變慢，就是時(shí)間膨脹（簡(jiǎn)稱時(shí)慢）。等速運(yùn)動(dòng)的物體帶在身上的時(shí)鐘，用靜系觀察者的時(shí)鐘去測(cè)量，不論運(yùn)動(dòng)方向，測(cè)量結(jié)果動(dòng)鐘都隨著運(yùn)動(dòng)速度增加而變慢。光速運(yùn)動(dòng)的物體（如光子）在時(shí)間軸上的分量為零，它的時(shí)間是靜止的。速度低于光速的物體，其時(shí)間膨脹的程度遵循洛侖茲變換 T = T 0 1 ? ? --> ( v c ) 2 {\displaystyle \ T={\frac {T_{0}}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 。

動(dòng)系的時(shí)間膨脹率 =洛倫茲因子,

愛(ài)因斯坦利用畢氏定理以及假設(shè)光速對(duì)任何相對(duì)等速運(yùn)動(dòng)的觀察者都一樣就推論出:

動(dòng)鐘計(jì)時(shí)值 t" = 靜鐘計(jì)時(shí)值t * 洛倫茲因子

假如有一個(gè)絕對(duì)靜止系，顯然，我們就可以測(cè)得各種物體的絕對(duì)時(shí)慢。所以處于相對(duì)靜止系的我們，所得之一切時(shí)慢之觀測(cè)值，都是相對(duì)時(shí)慢的觀測(cè)值。例如由洛倫茲變換的假說(shuō)去推論，在動(dòng)系的觀察者就測(cè)量出靜系的時(shí)間膨脹: t"= 洛倫茲因子 t, 同時(shí)也測(cè)量出靜系的長(zhǎng)度縮收: x"=x/洛倫茲因子.

注意: 這里假設(shè)的時(shí)間膨脹率，絕非只因?yàn)槎嗥绽招?yīng)讓時(shí)頻變低的視值。假設(shè)的時(shí)間膨脹率只跟受測(cè)物的相對(duì)速度有關(guān)，與近接或遠(yuǎn)離的方向無(wú)關(guān)。遠(yuǎn)離的多普勒效應(yīng)時(shí)頻視值[Fr=(C/(C+V"))F]是變慢的，但近接的多普勒效應(yīng)時(shí)頻視值[Fa=(C/(C-V"))F]是變快的。按照 愛(ài)因斯坦延緩假說(shuō)，對(duì)靜系觀察者來(lái)說(shuō)不論近接或遠(yuǎn)離，動(dòng)系通過(guò)一段固定距離的時(shí)間都加長(zhǎng)了. 也就是說(shuō)通過(guò)那段固定距離的動(dòng)系速度V"被靜系觀察者計(jì)算成比較慢的V, 慢率是洛倫茲因子, V=V"/洛倫茲因子. 所以靜系觀察者所測(cè)出的多普勒效應(yīng)被愛(ài)因斯坦延緩假說(shuō)修改成為: Fr=(C/(C+(V"/洛倫茲因子)))F 和 Fa=(C/(C-(V"/洛倫茲因子)))F.

長(zhǎng)度收縮（洛倫茲收縮）

L = L 0 1 ? ? --> ( v c ) 2 {\displaystyle \ L=L_{0}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}

洛倫茲收縮就是指相對(duì)于某物體運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者觀測(cè)，在運(yùn)動(dòng)的那個(gè)軸向的長(zhǎng)度，會(huì)比相對(duì)于物體靜止的觀測(cè)者觀測(cè)到的同一長(zhǎng)度要短。其收縮率，就是洛倫茲因子。其它軸向的長(zhǎng)度，并不會(huì)有影響。

邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)?zāi)欠N實(shí)驗(yàn)，就是洛倫茲收縮的最佳證明。

當(dāng)然，被洛倫茲收縮的人事物本身，并不會(huì)察覺(jué)到被收縮；從靜系看來(lái)，動(dòng)系上的觀測(cè)者，就像拿著一根被收縮的尺，去測(cè)量被收縮的物體。

但是，因?yàn)榻^對(duì)靜止系不可得，所以我們僅能測(cè)得相對(duì)短縮。因?yàn)槲覀儾恢雷约涸O(shè)定的靜止參考系，是否真的比我們要測(cè)的運(yùn)動(dòng)物體還要靜止。

假如運(yùn)動(dòng)物體上面有個(gè)觀測(cè)者，他又設(shè)定他的慣性系才是靜止的，那我們就變成他的動(dòng)系了。當(dāng)他觀測(cè)我們時(shí)，我們才是被收縮的一方，而他是正常的一方。

另外，洛倫茲收縮率，從移動(dòng)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)推遲的效應(yīng)，也就可以推出來(lái)。

高速運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)形變之等勢(shì)面，因?yàn)殡妶?chǎng)傳播不是無(wú)限快，所以必定會(huì)產(chǎn)生推遲，所以它向四周散發(fā)出的電場(chǎng)之等勢(shì)面，就不再是正球面對(duì)稱了。

同時(shí)的相對(duì)性

因?yàn)榻^對(duì)靜止系不可得，所以各慣性系的觀測(cè)者，對(duì)于兩事件發(fā)生，僅能作出是否相對(duì)同時(shí)的判斷，而沒(méi)有辦法作出是否絕對(duì)同時(shí)的判斷，除非兩事件發(fā)生在同一時(shí)空點(diǎn)上。

當(dāng)慣性系中的觀測(cè)者，在對(duì)該系中的有距離之兩鐘，進(jìn)行校時(shí)，他把同步訊號(hào)源放在兩鐘的正中央，同步脈波呈球面對(duì)稱，半徑光速擴(kuò)展，當(dāng)鐘被同步波緣觸及時(shí)，即歸零 (或重置在相同的計(jì)時(shí)初值)，此時(shí)兩鐘的計(jì)時(shí)步調(diào)，即相對(duì)同步計(jì)時(shí)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱相對(duì)同時(shí)。

相對(duì)論質(zhì)量

m = m 0 1 ? ? --> ( v c ) 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}

m 0 指絕對(duì)質(zhì)量（即牛頓力學(xué)中的質(zhì)量），m為相對(duì)論質(zhì)量。

由公式可以看出：

1.對(duì)于一個(gè)有質(zhì)量的物體，其速度v不可能等于或者超過(guò)光速，否則分母將會(huì)無(wú)意義或?yàn)橐粋€(gè)虛數(shù)（注：光子沒(méi)有靜止質(zhì)量，因此其速度可以達(dá)到光速；但是在其運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)有動(dòng)量或者說(shuō)能量，不屬于質(zhì)量范疇）。

2.當(dāng)某有質(zhì)量之物體移動(dòng)速率越接近光速，相對(duì)論質(zhì)量會(huì)變重。

3.當(dāng)v遠(yuǎn)小于c時(shí)，m近似于m 0 ，符合牛頓力學(xué)定律。

相對(duì)論力學(xué)

在狹義相對(duì)論中牛頓第二定律 F = m a 應(yīng)改寫(xiě)成下式（ F = m a 可解釋為下式的特例）

而動(dòng)量 P = M v ，其中M非定值，所以根據(jù)微分計(jì)算式d（uv）=udv+vdu，得

F = d ( M v ) d t = d M d t v + M d v d t = m 0 d γ γ --> d t v + γ γ --> m 0 d v d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d(M\mathbf {v} )}{dt}}={\frac {dM}{dt}}\mathbf {v} +M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={m_{0}}{\frac {d\gamma }{dt}}\mathbf {v} +\gamma {m_{0}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}

得

由上式可見(jiàn)，加速度并不和力的方向一致，且隨著速度逐漸趨向于光速，物體的質(zhì)量趨向于無(wú)窮大，加速度趨向于零。

相對(duì)論能量

根據(jù) m = m 0 1 ? ? --> v 2 / c 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} 公式，運(yùn)動(dòng)時(shí)物體質(zhì)量增大，同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)將會(huì)有動(dòng)能，質(zhì)量與動(dòng)能均隨速度增大而增大。

根據(jù) F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}

得 d E k = F d x = d p d t d x {\displaystyle {dE_{k}}=\mathbf {F} {dx}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}{dx}}

因?yàn)?d x d t = v {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v} ,所以 d E k = v d ( m v ) = v 2 d m + m v d v {\displaystyle {dE_{k}}=vd(mv)=v^{2}dm+mvdv}

由 m = m 0 1 ? ? --> v 2 / c 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} 公式改寫(xiě)而得 m 2 c 2 ? ? --> m 2 v 2 = m 0 2 c 2 {\displaystyle m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}}

因?yàn)閙,v都是t的函數(shù)，將該式兩邊對(duì)t微分，得 m v d v = c 2 d m ? ? --> v 2 d m {\displaystyle mvdv=c^{2}dm-v^{2}dm} ，

將結(jié)果帶入上式 d E k {\displaystyle {dE_{k}}} ，得

d E k = c 2 d m {\displaystyle {dE_{k}}=c^{2}dm}

對(duì)其積分， E k = ∫ ∫ --> m 0 m c 2 d m = m c 2 ? ? --> m 0 c 2 {\displaystyle {E_{k}}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}}

這就是相對(duì)論下的動(dòng)能公式。當(dāng)速度為0時(shí)， m = m 0 {\displaystyle m=m_{0}} ，所以動(dòng)能為0。 m 0 c 2 {\displaystyle m_{0}c^{2}} 為物體靜止時(shí)的能量。而總能量=靜止能量+動(dòng)能，因此總能量 E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} .

相對(duì)論動(dòng)量與能量

根據(jù)式 m = m 0 1 ? ? --> v 2 / c 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} ，

等式左右兩邊平方，再同乘以光速的四次方

得: E 2 = ( p c ) 2 + ( m 0 c 2 ) 2 {\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}

此外，不難證明: p c 2 = E v . {\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} \,.}

上兩式說(shuō)明動(dòng)量與能量是密切相關(guān)的

當(dāng)速度接近光速時(shí)，v約等于c，因此最后一式可改寫(xiě)為 E = p c . {\displaystyle \mathbf {E} =pc\,.}

相對(duì)論下的電效應(yīng)——磁場(chǎng)與電場(chǎng)的統(tǒng)一

經(jīng)典電磁學(xué)的理論研究開(kāi)始了有關(guān)電磁波傳播的探討。由擴(kuò)展電磁效應(yīng)的方程可推得，若E場(chǎng)和B場(chǎng)以有限的速度傳播，帶電粒子需要符合特定的條件，有關(guān)帶電粒子的相關(guān)研究形成了李納-維謝勢(shì)，已開(kāi)始往狹義相對(duì)論前進(jìn)。

一個(gè)移動(dòng)粒子產(chǎn)生的電場(chǎng)，若用洛倫茲變換轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系下，會(huì)出現(xiàn)對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)的項(xiàng)。相對(duì)的，一個(gè)移動(dòng)粒子產(chǎn)生的磁場(chǎng)，若在一個(gè)速度和粒子相同的坐標(biāo)系來(lái)觀察，磁場(chǎng)會(huì)消失，轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)。麥克斯韋方程組只是將狹義相對(duì)論的效應(yīng)應(yīng)用在經(jīng)典模式下，經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)果。由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)都和坐標(biāo)系有關(guān)，而且會(huì)互相轉(zhuǎn)換。狹義相對(duì)論提供電磁場(chǎng)從一個(gè)慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)移到另一個(gè)慣性坐標(biāo)系時(shí)，需要的轉(zhuǎn)換公式。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

橫向多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)

高速運(yùn)動(dòng)粒子壽命的測(cè)定

1、在超新星爆發(fā)中產(chǎn)生的宇宙射線，在近光速運(yùn)動(dòng)中半衰期延長(zhǎng)。

2、在粒子加速器中派介子半衰期延長(zhǎng)。

3、攜帶原子鐘的實(shí)驗(yàn)#在2010年時(shí)美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所比較一個(gè)在地面的原子鐘和在高速火箭上的電子鐘，證實(shí)了雙生子佯謬成立 。

相關(guān)條目

洛倫茲變換

伽利略變換

廣義相對(duì)論

論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)

E=mc2

移動(dòng)中的磁鐵與導(dǎo)體問(wèn)題

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