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歷史

籌算具體出現(xiàn)時間已然不可考，但根據(jù)典籍記錄和考古發(fā)現(xiàn)，至少在戰(zhàn)國初年籌算已然出現(xiàn)。它使用中國商代發(fā)明的十進(jìn)位制計數(shù)，可以很方便地進(jìn)行四則運算以及乘方，開方等較復(fù)雜運算，并可以對零、負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)作出表示與計算。

籌算在公元6世紀(jì)由中國傳入朝鮮半島和日本。七世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)中的分子在上，分母在下，與中國同，分?jǐn)?shù)的乘除法也和《九章算術(shù)》相同。古印度數(shù)學(xué)絕大部分來自中國。 。一直到被珠算完全取代之前，籌算是東亞古代進(jìn)行日常計算的方法，算籌是東亞古代數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)時常用的計算器具，是東亞古代各種重要數(shù)學(xué)發(fā)明的基礎(chǔ)，開創(chuàng)了中國以至東亞古代以計算為中心的機械化數(shù)學(xué)體系，與古希臘以邏輯推理為中心的數(shù)學(xué)體系有所不同；機械化的數(shù)學(xué)體系是一千多年世界數(shù)學(xué)的主流

影響

籌算的乘除法傳入印度，成為土盤算法 。9世紀(jì)初至10世紀(jì)，又經(jīng)印度傳入阿拉伯,這時期的阿拉伯闡述印度數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)著作，諸如《印度算術(shù)原理》，其土盤算式雖然用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，但其十進(jìn)位制概念，分?jǐn)?shù)的表示法，以及加、減、乘、除四則運算的計算方法，和中國的籌算雷同，有的還用空格“ 0 ”表示“0”，和籌算一模一樣。有學(xué)者認(rèn)為，中國古代的籌算，通過絲綢之路傳入印度、阿拉伯，促成印度－阿拉伯?dāng)?shù)字體系 。

數(shù)字表示

  一到九的直型態(tài)與橫型態(tài)對照

算籌數(shù)系是世界上唯一只用一個符號的方向和位置的組合，表示任何十進(jìn)位數(shù)字或分?jǐn)?shù)的系統(tǒng)。 單位數(shù)字：將籌棍豎排一根棍表示1，兩根棍表示2，5根棍表示5如圖上。但從6至9數(shù)字的表示，不是并排6至9根籌棍，而是采用同位五進(jìn)制，即用一根籌棍代表數(shù)碼5，橫放在籌數(shù)1至4的上方如圖。這已蘊含算盤雛形。上排是籌算中1至9的豎碼，下排是相應(yīng)數(shù)字的橫碼。

  使用直橫排列避免混淆

大于9的數(shù)字，則用十進(jìn)制表示，在個位數(shù)的位置左邊，放置一個籌數(shù)，代表這個籌數(shù)的十倍，在十位數(shù)值左的位置，代表百位數(shù)，如此類推。如圖所示數(shù)二百三十一（231）的表示法，在個位放置一根籌碼，表示1，在十位放置籌數(shù)3，代表30，在百位放置籌數(shù)2，代表200，總數(shù)即二百三十一（231）?！秾O子算經(jīng)》云：

。

籌算板一般是桌面或地面，通常沒有格子。如果籌碼2，3，1并排排列，有可能被誤讀為51或24；為了避免鄰位誤讀，先民發(fā)明了每隔一位交替使用豎碼橫碼，即個位豎碼，十位用橫碼，百位用豎碼，千位用橫碼，如此類推，就可以完全避免誤讀了 。

零的表示

  數(shù)字后加斜棍表負(fù)數(shù)

中國自有籌算起就有“0”，即以空位表示“0”?；I算中的零是位置零和運算結(jié)果的零，沒有特定符號，這和阿拉伯?dāng)?shù)字專有一個符號0不同， 阿拉伯?dāng)?shù)字0只是符號零，不是運算結(jié)果。

正負(fù)數(shù)

宋代數(shù)學(xué)家用紅色籌碼代表正數(shù)，用黑色籌碼代表負(fù)數(shù)，也有一律用黑色籌碼，但在數(shù)字最后一位加一根斜棍標(biāo)示為負(fù)數(shù)。

小數(shù)

孫子算經(jīng)的度量衡已有十進(jìn)位制概念，如尺、寸、分、厘、毫、絲、忽。七丈一尺二寸三分四厘五毫六絲，用現(xiàn)代表示方法為71.23456尺，用算籌排為

其中 為十位數(shù)， 為個位數(shù)， 為十分之一位等等。

南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中將小數(shù)推廣到非度量衡，如

表示為：

即在個位數(shù)1下記一“日”字。

加法

  籌算加法 3748 + 289 = 4037 {\displaystyle 3748+289=4037}

算籌本身已經(jīng)包含加法，因此用算籌進(jìn)行加法運算十分方便快捷?；I算加法與阿拉伯?dāng)?shù)字加法最大的不同，在于算籌本身具有可加性，用算籌進(jìn)行加法運算，只須機械地搬動籌棍，即可進(jìn)行運算，不需要另外背誦加法表，這與阿拉伯?dāng)?shù)字不同，不可能將阿拉伯?dāng)?shù)字1和2機械地疊成3字，2和3疊成一個5字。

左圖表示 3748 + 289 {\displaystyle 3748+289} 的運籌步驟：

將被加數(shù)3748放上行，加數(shù)289放下行，位數(shù)對齊。

從左往右計算。

取出下行百位數(shù)的二豎棍，與上行7合并為9。

從上行十位的4，取出二根籌棍（上行剩2），與下行8合為10，進(jìn)位1，與百位的9合為10，進(jìn)一位。

將個位數(shù)的8，取出一根籌與下行9合為10，進(jìn)位1，與百位的2合為3

答案4037。

上行被加數(shù)籌碼，在運算過程中逐步變化；下行加數(shù)籌碼，在運算過程中逐步消失。

減法

 

不需向上一數(shù)量級借位的情況下，只要從被減數(shù)中去掉與減數(shù)相同數(shù)目的籌棍，剩余的籌碼就是答案。左圖為計算54-23的演示步驟。 右圖為計算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數(shù)量級借位：

將被減數(shù)4231放在上行，減數(shù)789放下行。從左往右逐位運籌。

從千位借1為百位10，減去下行該位的7，余數(shù)3與上行2合為5，下行本位的7被取去，留空白。

從百位5借1留4，百位所借1減十位下行8得2，與上行3合為5；至此上行籌碼為3451，下行為9。

從上行十位的5借1余四，所借1（=10）減去下行9得1，搬往上行得2，至此下行籌碼已全部減除，上行得3442即是運算結(jié)果。

乘法

  籌算 38x76=2888

  十世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾烏基里德的乘法，是孫子乘法的變化

運用算籌進(jìn)行乘除運算時必須先學(xué)會九九表:《夏侯陽算經(jīng)》云：

《孫子算經(jīng)》對籌算乘法有詳細(xì)闡述。 左圖即為籌算38×76的演示步驟：

將被乘數(shù)放在上排（上位），乘數(shù)放在下排（下位），乘數(shù)的個位，對齊被乘數(shù)的最高位。如圖：被乘數(shù)38在上排，乘數(shù)76在下排，其個位數(shù)6對齊被乘數(shù)38的3。上下排之間，留空幾排，作中間積存放處。

運算規(guī)則：從左至右。

從被乘數(shù)的最高位開始運籌（例中即先運算30×76，再運算8×76）。在運算中必須運用九九表。據(jù)九九表“三七二十一”，將籌碼21放在中間排，1對齊乘數(shù)的十位，即在7之上；然后“三六一十八”；（30×76得中間積2280），如圖中排，至此被乘數(shù)的3已經(jīng)完成運算，從籌板除去。

將乘數(shù)76的籌碼，往右移動一位，7改橫碼，6改為豎碼；

以下再運算8×76，運算“七八五十六”，撤乘數(shù)十位數(shù)籌碼7；

運算“八十八”，4與上一步所得56的6合并為10，進(jìn)位1，撤去被乘數(shù)個位8，撤去乘數(shù)個位6；

將中間積2280與608相加，得積2888，至此整條算式運算完畢。

P.S.:范例圖片是一邊乘一邊加而不是像文字描述所說乘完后才加。

除法

  十世紀(jì)阿爾烏幾里德除法

  孫子除法 309/7=44 1/7

  9世紀(jì)花拉子米除法是孫子除法的翻版

  十一世紀(jì)伊本·拉班除法也是孫子除法的翻版

左圖為計算 309 7 {\displaystyle {\frac {309}{7}}} 的演示步驟：

將被除數(shù)309放中排，除數(shù)7放下排，上排留空。

將除數(shù)7左移一位，變橫碼，用九九表和減法運算30÷7：30除7得4剩2，

商4擺上排，2留中排。

將除數(shù)7右移一位，改豎碼；再用九九表和減法運算29÷7：29除7得4余1，

商4放上排，除數(shù)不撤，最后得商44，余數(shù)1，故 309 7 = 44 1 7 {\displaystyle {\frac {309}{7}}=44{\frac {1}{7}}} 。

孫子除法在9世紀(jì)初最早由花拉子米從印度介紹到阿拉伯國家，十世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾烏幾里德《印度的算術(shù)》 敘述的早期除法和十一世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家伊本·拉班《印度算術(shù)原理》敘述的除法，也是不折不扣的孫子除法：

同樣上、中、下三行的布列格式

同樣上為商數(shù)，中為被除數(shù)，下為除數(shù)

同樣的左邊對齊

同樣的自左往右運算

同樣算一步后將除數(shù)右移一位

同樣除數(shù)后面以空格代0

同樣的商和余數(shù)，以三行格式表示。

分?jǐn)?shù)

用籌算進(jìn)行除法運算時，如留有余數(shù)，則必須保留除數(shù)和余數(shù)，形成一對籌碼，一在上一在下。劉徽《九章算術(shù)注》中，在上的籌稱“實”，為在下的籌稱為“法”：《孫子算經(jīng)》中，在上的籌稱為“子”，（分子），而在下的稱為“母”（分母）。如右圖一對籌碼一在上一在下，1是子，7是母，構(gòu)成分?jǐn)?shù) 1 7 {\displaystyle {\frac {1}{7}}} 。 這種籌算分?jǐn)?shù)的表示法，在9世紀(jì)由花拉子米介紹到阿拉伯國家。

分?jǐn)?shù)加法

  分?jǐn)?shù)加法

1 3 + 2 5 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}}

將分子1，2 擺放在算籌板的左邊，將分母3，5擺放在算籌板的右邊

將分子與分母交叉互乘，將所得的積代替相應(yīng)的分子

將分母相乘，將乘積擺放在算籌板右下方

將新的分子相加，其和擺放在算籌板右上方

結(jié)果： 1 3 + 2 5 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}} = 11 15 {\displaystyle {\frac {11}{15}}}

分?jǐn)?shù)減法

  分?jǐn)?shù)減法

8 9 ? ? --> 1 5 {\displaystyle {\frac {8}{9}}-{\frac {1}{5}}}

將分子8，1的算籌擺放在算籌板的左邊

將分母9，5 擺放在算籌板的右邊

分子分母互乘，以乘積代替相應(yīng)的分子。

分母相乘，其積擺放在算籌板右下方

新分子相減為差，將差數(shù)擺放在算籌板右上方

結(jié)果： 8 9 ? ? --> 1 5 {\displaystyle {\frac {8}{9}}-{\frac {1}{5}}} = 31 45 {\displaystyle {\frac {31}{45}}}

分?jǐn)?shù)乘法

  分?jǐn)?shù)乘法

3 1 3 × × --> 5 2 5 {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}\times 5{\frac {2}{5}}}

將 3 1 3 {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}} 和 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} 在算籌板上布置成商、實、法形式。

商乘法加入實。 3*3 + 1=10； 5*5 + 2=27

實乘實：10*27=270

法乘法：3*5=15

實除法: 3 1 3 × × --> 5 2 5 {\displaystyle 3{\frac {1}{3}}\times 5{\frac {2}{5}}} =18

分?jǐn)?shù)除法

將分?jǐn)?shù)在算籌板上以商、實、法的三行格式排列。

將商乘法，并入實。

將除數(shù)分?jǐn)?shù)的分子、分母互換。

分子、分母相乘。

約分。

最大公約數(shù)

  求最大公約數(shù)

九章算術(shù)給出求兩個數(shù)最大公約數(shù)的方法，即輾轉(zhuǎn)相除，以至最后余數(shù)相等，即為最大公約數(shù)。

左圖為求 32450625 59056400 {\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}} 的最大公約數(shù)，并進(jìn)行約分。

最大公約數(shù)為25，約分得 1298025 2362256 {\displaystyle {\frac {1298025}{2362256}}} 。

分?jǐn)?shù)內(nèi)插法

 

何承天發(fā)明名為調(diào)日法的分?jǐn)?shù)內(nèi)插法，反復(fù)將弱值分?jǐn)?shù)與強值分?jǐn)?shù)的分子分母相加已求得更佳的近似值。祖沖之用此法求的著名的圓周率 約率 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}} 和密率 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}}

開平方根

  籌算開方術(shù)

  伊本·拉班開平方術(shù)

孫子算經(jīng)卷中：“今有積，二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

術(shù)曰：置積二十三萬四千五百六十七步，為實，次借一算為下法，步之超一位至百而止。上商置四百于實之上，副置四萬于實之下。下法之商，名為方法；命上商四百除實，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，復(fù)置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名為廉法；方廉各命上商八十以除實，除訖，倍廉法，從方法，方法一退，下法再退，復(fù)置上商四以次前，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除實，除訖，倍隅法，從方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一，是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。

右圖為籌算開方 234567 ≈ ≈ --> 484 311 968 {\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}} 。

算法如下：

把234567放在算籌板的由上數(shù)起的第二行上，稱之為 實 。

把一個標(biāo)記“1”放置在第四行的萬位，稱為 下法 。

估計平方根的第一位，放在第一行（ 商 ）的百位。

將商乘以下法(4×1)，把積放在第三行，稱之為 方法 。

將實減去商和方法的積，23-4×4=7

將方法乘以2，把它移向右邊，改為橫碼。

把下法向右移兩位。

估計平方根的第二位，放在商的十位。

將商乘以下法，積加到方法。

8×8=64，將74減去64，把10放到實。

把方法的個位乘以2，加到原方法80。

把方法向右移，改變方向；把下法向右移兩位。

估計平方根的第三位。

將商乘以下法(4×1)，積加到方法，此時方法應(yīng)為964。

從實減去4×9+4×6+4×4=76，余下311。

把方法的個位乘以2，加到原方法960。

答案： 234567 ≈ ≈ --> 484 311 968 {\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}

十一世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家伊本·拉班的開平方術(shù)，與孫子基本上向同，唯最后分母加1，所以平方根的小數(shù)比真值略小，孫子算法所得，則比真值略大。

開立方根

  賈憲增乘開立方術(shù)

九章算術(shù)卷第四《少廣》有數(shù)道開立方題，其開立方術(shù)為后世開立方術(shù)的基礎(chǔ)。

〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？

答曰：一百二十四尺、太半尺。 開立方術(shù)曰：置積為實。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內(nèi)子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

1937541 17 27 3 = 124 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1937541{\frac {17}{27}}}}=124{\frac {2}{3}}}

北宋數(shù)學(xué)家賈憲發(fā)明增乘開立方法和遞增三乘開四次方術(shù)。

右圖為賈憲增乘開立方解九章算術(shù)第四卷少廣〔一九〕

今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？

答曰：一百二十三尺。

： 1860867 3 = 123 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}

聯(lián)立方程

  聯(lián)立方程

九章算術(shù)　卷第八　方程： 〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。 問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：

上禾一秉，九斗、四分斗之一，

中禾一秉，四斗、四分斗之一，

下禾一秉，二斗、四分斗之三。

有三捆上等谷物，兩捆中等谷物，一捆下等谷物，共39斗；有兩捆上等，三捆中等，一捆下等，共34斗；有一捆上等，兩捆中等，三捆下等，共26斗。分別找出上、中、下等谷物的數(shù)量。

方程術(shù)曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。

以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

將中列乘以右上角的數(shù)字，即3。

重復(fù)地從中列減去右列，直到中上角的數(shù)字為0。

將左列乘以右上角的數(shù)字，即3。

重復(fù)地從左列減去右列，直到左上角的數(shù)字為0。

對中列和左列使用上述消除算法后，矩陣將簡化成三角形狀：

一捆下等谷物的數(shù)量= 99 36 = 2 3 4 {\displaystyle {\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}} 斗

一捆上等谷物= 9 1 4 {\displaystyle 9{\frac {1}{4}}} 斗

一捆中等谷物= 4 1 4 {\displaystyle 4{\frac {1}{4}}} 斗

行列式

日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在《三部抄》的《解伏題之法》中，將線性方程組的系數(shù)縱橫寫成方陣的形式，發(fā)明了行列式。關(guān)孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。

高次方程

 

南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將賈憲的增乘開方術(shù)推廣，以求解高次方程。右圖為秦九韶解下列四次方程式的程序。

程序：

置6262506.25 為實

置15245 為上廉

置1為益隅

上廉超二位，益隅超三位。

置商20步

以商乘益隅入下廉

以下廉乘商生負(fù)廉

以負(fù)廉與正廉相消得正上廉

以商乘上廉為方

以方乘商除實

又以商乘益隅入下廉

以下廉乘商生負(fù)廉

負(fù)廉與正廉相消

商與上廉生方

商隅相乘入下廉

商與下廉生負(fù)廉

負(fù)廉與正廉相消

商又與隅生下廉

下廉三退，隅四退

無商（商第二位為0），以上廉并入方，并益隅入下廉

益隅并負(fù)廉與正方廉相消，命為母

約分

得 x = 20 1298025 2362256 {\displaystyle x=20{\frac {1298025}{2362256}}}

四元高次方程

籌算的應(yīng)用在朱世杰《四元玉鑒》中的四元術(shù)到達(dá)高峰。

今有股弦較除弦和與直積等。只云勾股較除弦較和與勾同。問弦?guī)缀危?

：得到 今式 ? ? --> y ? ? --> z ? ? --> y 2 × × --> x ? ? --> x + x y z = 0 {\displaystyle -y-z-y^{2}\times x-x+xyz=0}

云式： ? ? --> y ? ? --> z + x ? ? --> x 2 + x z = 0 {\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}

三元式： y 2 ? ? --> z 2 + x 2 = 0 ; {\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}

三元式與云式相消，

人天易位 人弦-->天勾

得： 前式 ? ? --> x ? ? --> 2 x 2 + y + y 2 + x y ? ? --> x y 2 + x 2 y {\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}

及 后式 ? ? --> 2 x ? ? --> 2 x 2 + 2 y ? ? --> 2 y 2 + y 3 + 4 x y ? ? --> 2 x y 2 + x y 2 {\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}

相消得 x 4 ? ? --> 6 x 3 + 4 x 2 + 6 x ? ? --> 6 = 0 {\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-6=0}

解之得 x = 5 {\displaystyle x=5} 天勾=5；

人天易位 天勾-->人弦

得弦=五步。

  朱世杰《四元玉鑒·四象會元》四元術(shù)

今有股乘五較與弦冪加勾乘弦等。只云勾除五和與股冪減勾弦同。問黃方帶勾股弦共幾何？

消元，物易天位

解之，

物易天位，得 十四步。

參看

增乘開平方法

參考文獻(xiàn)

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《九章算術(shù)白話譯解》 重慶大學(xué)出版社 ISBN 7-5624-3848-X

李約瑟原著 柯林·羅南改編《中華科學(xué)文明史》卷2 第一章 數(shù)學(xué)

Lam Lay Yong（蘭麗蓉） Ang Tian Se（洪天賜）， Fleeting Footsteps， World Scientific ISBN 981-02-3696-4

Ho Peng Yoke， Li， Qi and Shu ISBN 0-486-41445-0

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