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納什-科伊伯定理(Nash-Kuiper theorem ,C嵌入定理)

定理 令(M,g){\displaystyle (M,g)}為一黎曼流形而f:Mm→ → -->Rn{\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}為一個短的C∞ ∞ -->{\displaystyle C^{\infty }}光滑嵌入（或浸入(immers歐幾里得）到歐幾里得空間Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, n≥ ≥ -->m+1{\displaystyle n\geq m+1}。（“短”表示縮短曲線長度。）則對于任意? ? -->>0{\displaystyle \epsilon >0}存在嵌入(或浸入)f? ? -->:Mm→ → -->Rn{\displaystyle f_{\epsilon }:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}滿足

特別的是，因為它從惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）得出，任何m-維黎曼流形可以有一個等距C1{\displaystyle C^{1}}-嵌入到2m-維歐幾里得空間中的任意小的鄰域。定理最初由納什在條件n≥ ≥ -->m+2{\displaystyle n\geq m+2}而不是n≥ ≥ -->m+1{\displaystyle n\geq m+1}下證明，不過他提示了改進(jìn)到n≥ ≥ -->m+1{\displaystyle n\geq m+1}的方法，爾后被尼古拉·科伊伯(Nicolaas Kuiper)推廣到n≥ ≥ -->m+1{\displaystyle n\geq m+1}。

定理有很多反直觀的推導(dǎo)結(jié)果。例如，可以得出任何閉可定向黎曼曲面可以C1{\displaystyle C^{1}}等距嵌入到在歐幾里得三維空間中的任意小球（對足夠小的ε，不存在這樣的等距C2{\displaystyle C^{2}}-嵌入，因為由高斯曲率的公式，這樣的嵌入的極點會有曲率≥ ε，違反絕妙定理所指出的等距C2{\displaystyle C^{2}}-嵌入保持高斯曲率不變）。

C嵌入定理

技術(shù)性的陳述如下: 若M為一給定m-維黎曼流形 (解析或?qū)儆贑類, 3 ≤ k ≤ ∞), 則存在n (n=m2+5m+3{\displaystyle n=m^{2}+5m+3} 就可以)和一個單射f : M->R (也是解析的或者屬于C類)使得對于M的所有點p，導(dǎo)數(shù)dfp 是一個線性映射從切空間TpM 到R，和給定在TpM上的內(nèi)積和R的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積在如下意義下兼容:

對于TpM中的所有向量u, v。 這是偏微分方程(PDE)的不定系統(tǒng)。

納什嵌入定理是全局系統(tǒng)，因為整個流形嵌入到了R。局部嵌入定理要簡單得多，可以在流形的座標(biāo)鄰域中用高等微積分的隱函數(shù)定理證明。這里給出的全局嵌入定理的證明依賴于納什對隱函數(shù)定理的極大推廣版本，Nash-Moser定理和帶后處理(postconditioning)的牛頓法(見參考)。納什解決嵌入問題的基本思想是采用牛頓法來證明該PDE系統(tǒng)有解。標(biāo)準(zhǔn)的牛頓法應(yīng)用于該系統(tǒng)時不收斂，所以納什利用光滑化算子來保證牛頓循環(huán)收斂。這個改變了的牛頓法成為帶后處理的牛頓法。平滑算子由卷積定義。該平滑算子保證了循環(huán)的趨向于一個根，使得它可以用來作為存在性定理。通過證明PDE系統(tǒng)存在一個根就證明了黎曼流形的等距嵌入的存在性。有一個更老的循環(huán)稱為Kantovorich循環(huán)，它是只用牛頓方法的存在性定理(所以不用平滑算子)。

參考文獻(xiàn)

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Günther, Matthias, Zum Einbettungssatz von J. Nash [On the embedding theorem of J. Nash], Mathematische Nachrichten, 1989, 144: 165–187, MR 1037168, doi:10.1002/mana.19891440113（German） 引文格式1維護(hù)：未識別語文類型 (link)

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