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歷史

貝塞爾函數(shù)的幾個正整數(shù)階特例早在18世紀中葉就由瑞士數(shù)學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數(shù)學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數(shù)學大師對貝塞爾函數(shù)的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數(shù)學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運動問題時，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數(shù)[1][2]。

現(xiàn)實背景和應用范圍

貝塞爾方程是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = n；在球形域問題中得到的是半奇數(shù)階形式 α = n+?），因此貝塞爾函數(shù)在波的傳播問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

圓柱體中的熱傳導問題；

圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題；

在其他一些領(lǐng)域，貝塞爾函數(shù)也相當有用。譬如在信號處理中的調(diào)頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數(shù)。

定義

貝塞爾方程是一個二階常微分方程，必然存在兩個線性無關(guān)的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。下面分別介紹這些不同類型的貝塞爾函數(shù)。

第一類貝塞爾函數(shù)

 圖2 0階、1階和2階第一類貝塞爾函數(shù)（貝塞爾J函數(shù)）曲線

第一類貝塞爾函數(shù)（Bessel function of the first kind），又稱貝塞爾函數(shù)（Bessel function），下文中有時會簡稱為J函數(shù)，記作Jα。

第一類α階貝塞爾函數(shù)Jα(x)是貝塞爾方程當α為整數(shù)或α非負時的解，須滿足在x = 0 時有限。這樣選取和處理Jα的原因見本主題下面的性質(zhì)介紹；另一種定義方法是通過它在x = 0 點的泰勒級數(shù)展開（或者更一般地通過冪級數(shù)展開，這適用于α為非整數(shù)）：

上式中 Γ Γ --> ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 為Γ函數(shù)（它可視為階乘函數(shù)向非整型自變量的推廣）。第一類貝塞爾函數(shù)的形狀大致與按 1 / x {\displaystyle 1/{\sqrt {x}}} 速率衰減的正弦或余弦函數(shù)類似（參見本頁下面對它們漸進形式的介紹），但它們的零點并不是周期性的，另外隨著x的增加，零點的間隔會越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數(shù) J α α --> ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 的曲線（ α α --> = 0 , 1 , 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} ）。

如果α不為整數(shù)，則 J α α --> ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 和 J ? ? --> α α --> ( x ) {\displaystyle J_{-\alpha }(x)} 線性無關(guān)，可以構(gòu)成微分方程的一個解系。反之若 α α --> {\displaystyle \alpha } 是整數(shù)，那么上面兩個函數(shù)之間滿足如下關(guān)系：

于是兩函數(shù)之間已不滿足線性無關(guān)條件。為尋找在此情況下微分方程與 J α α --> ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 線性無關(guān)的另一解，需要定義第二類貝塞爾函數(shù)，定義過程將在后面的小節(jié)中給出。

貝塞爾積分

α α --> {\displaystyle \alpha } 為整數(shù)時貝塞爾函數(shù)的另一種定義方法由下面的積分給出：

（ α α --> {\displaystyle \alpha } 為任意實數(shù)時的表達式見參考文獻[2]第360頁）

這個積分式就是貝塞爾當年提出的定義，而且他還從該定義中推出了函數(shù)的一些性質(zhì)。另一種積分表達式為：

和超幾何級數(shù)的關(guān)系

貝塞爾函數(shù)可以用超幾何級數(shù)表示成下面的形式：

ɑ為整數(shù)。由于函數(shù)線性相關(guān)的特性(用了一個就少了一個，所以要再構(gòu)造一個)，才需定義如下詳細介紹的第二類貝塞爾函數(shù)。

第二類貝塞爾函數(shù)（諾依曼函數(shù)）

 圖3 0階、1階和2階第二類貝塞爾函數(shù)（貝塞爾Y 函數(shù)）曲線圖

第二類貝塞爾函數(shù)（Bessel function of the second kind），又稱諾伊曼函數(shù)（Neumann function），下文中有時會簡稱為Y函數(shù)，記作Yα。

第二類貝塞爾函數(shù)也許比第一類更為常用。 這種函數(shù)通常用Yα(x)表示，它們是貝塞爾方程的另一類解。x = 0 點是第二類貝塞爾函數(shù)的（無窮）奇點。

Yα(x)又被稱為諾依曼函數(shù)（Neumann function），有時也記作Nα(x)。它和Jα(x)存在如下關(guān)系：

若α為整數(shù)（此時上式是 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 型未定式）則取右端的極限值。

從前面對Jα(x)的定義可以知道，若α不為整數(shù)時，定義Yα是多余的（因為貝塞爾方程的兩個線性無關(guān)解都已經(jīng)用J函數(shù)表示出來了）。另一方面，若α為整數(shù)，Yα便可以和Jα構(gòu)成貝塞爾方程的一個解系。與J函數(shù)類似，Y函數(shù)正負整數(shù)階之間也存在如下關(guān)系：

Jα(x)和Yα(x)均為沿負實半軸割開的復平面內(nèi)關(guān)于x的全純函數(shù)。當α為整數(shù)時，復平面內(nèi)不存在貝塞爾函數(shù)的支點，所以J 和Y 均為x 的整函數(shù)。若將x 固定，則貝塞爾函數(shù)是α的整函數(shù)。圖3所示為0階、1階和2階第二類貝塞爾函數(shù) Y α α --> ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} 的曲線（ α α --> = 0 , 1 , 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} ）：

第三類貝塞爾函數(shù)（漢克爾函數(shù)）

第三類貝塞爾函數(shù)（Bessel function of the third kind），又稱漢克爾函數(shù)（Hankel function）。

貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關(guān)解稱為漢克爾函數(shù)（Hankel functions）Hα(x)和Hα(x)，分別定義為：

其中i 為虛數(shù)單位 ? ? --> 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} 。以上的線性組合也成為第三類貝塞爾函數(shù)；它們描述了二維波動方程的內(nèi)行柱面波解和外行柱面波解（"行"與在"行動"中同音）。

利用前面推出的關(guān)系可將漢克爾函數(shù)表示成：

若α為整數(shù)，則須對等號右邊取極限值。另外，無論α是不是整數(shù)，下面的關(guān)系都成立：

修正貝塞爾函數(shù)

貝塞爾函數(shù)當變量x 為復數(shù)時同樣成立，并且當x 為純虛數(shù)時能得到一類重要情形——它們被稱為第一類修正貝塞爾函數(shù)（modified Bessel function of the first kind）和第二類修正貝塞爾函數(shù)（modified Bessel function of the second kind），或虛變量的貝塞爾函數(shù)（有時還稱為雙曲型貝塞爾函數(shù)），定義為：

以上形式保證了當變量x 為實數(shù)時，函數(shù)值亦為實數(shù)。這兩個函數(shù)構(gòu)成了下列修正貝塞爾方程（與一般貝塞爾方程的差別僅在兩個正負號）的一個相互線性無關(guān)的解系：

修正貝塞爾函數(shù)與一般貝塞爾函數(shù)的差別在于：一般貝塞爾函數(shù)隨實變量是振蕩型的，而修正貝塞爾函數(shù)Iα 和Kα則分別是指數(shù)增長和指數(shù)衰減型的。和第一類貝塞爾函數(shù)Jα一樣，函數(shù)Iα當α > 0 時在x=0 點等于0，當α=0時在x=0 點趨于有限值。類似地，Kα在x=0 點發(fā)散（趨于無窮）。

復數(shù)變量的貝塞爾函數(shù)之零值： J α α --> ( x ) = 0 {\displaystyle J_{\alpha }(x)=0} 的解在α≥-1的情況下都是實數(shù)；階數(shù)-2>α>-1的情況下，除了實數(shù)之外還有且僅有一對共軛的純虛數(shù)解（G.N Watson參考文獻[5]）。

第二類修正貝塞爾函數(shù)有時候被稱為第三類修正貝塞爾函數(shù)（modified Bessel function of the third kind）。

球貝塞爾函數(shù)

 圖5-1 第一類球貝塞爾函數(shù) j n ( x ) {\displaystyle j_{n}(x)} 曲線（ n = 0 , 1 , 2 {\displaystyle n=0,1,2} ）

 圖5-2 第二類球貝塞爾函數(shù) y n ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)} 曲線（ n = 0 , 1 , 2 {\displaystyle n=0,1,2} ）

若使用分離變量法求解球坐標下的三維亥姆霍茲方程，則可得到如下形式關(guān)于徑向（r 方向）分量的常微分方程：

關(guān)于上述方程的一對線性無關(guān)解稱為球貝塞爾函數(shù)，分別用jn和yn表示（有時也記為nn）。這兩個函數(shù)與一般貝塞爾函數(shù)Jn和Yn 存在關(guān)系：

球貝塞爾函數(shù)也可寫成：

0階第一類球貝塞爾函數(shù) j 0 ( x ) {\displaystyle j_{0}(x)} 又稱為sinc函數(shù)。頭幾階整階球貝塞爾函數(shù)的表達式分別為：

第一類：

第二類：

還可以依照前面構(gòu)造漢克爾函數(shù)相同的步驟構(gòu)造所謂 球漢克爾函數(shù)：

事實上，所有半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)都可以寫成由三角函數(shù)組成的封閉形式的表達式，球貝塞爾函數(shù)也同樣可以。特別地，對所有非負整數(shù)n，存在：

而對實自變量x，hn是上面hn的復共軛（!! 表示雙階乘）。由此我們可以通過得到h，再分離實部虛部，求出相應階j 和h 的表達式，譬如j0(x) = sin(x)/x，y0(x) = -cos(x)/x，等等。

黎卡提-貝塞爾函數(shù)

黎卡提-貝塞爾函數(shù)（Riccati-Bessel functions）和球貝塞爾函數(shù)比較類似：

該函數(shù)滿足方程：

這個方程以及相應的黎卡提-貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫·米（Gustav Mie）于1908年研究電磁波在球狀顆粒表面散射問題時提出的，后人將這種散射稱為米氏散射（Mie scattering）。這個問題近幾年的進展可參見文獻 Du (2004)。

后人有時會遵從德拜（Debye）在1909年的論文中的記法，用 ψ ψ --> n , χ χ --> n {\displaystyle \psi _{n},\chi _{n}} 代替前面的 S n , C n {\displaystyle S_{n},C_{n}} 。

漸近形式

貝塞爾函數(shù)在α非負時具有下面的漸近形式。當自變量x 為小量，即 0 α α --> + 1 {\displaystyle 0 時，有：

式中γ為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)（也叫歐拉常數(shù)，等于 0.5772156649...），Γ為Γ函數(shù)。對于很大的x，即 x ? ? --> | α α --> 2 ? ? --> 1 / 4 | {\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|} 時，漸近形式為：

（α=1/2 時漸近號兩邊嚴格相等；參見前面對球貝塞爾函數(shù)的介紹）。其他形式貝塞爾函數(shù)的漸近形式可以從上面的式子直接推得。譬如，對大自變量 x ? ? --> | α α --> 2 ? ? --> 1 / 4 | {\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|} ，修正貝塞爾函數(shù)的漸近形式為：

對小自變量 0 α α --> + 1 {\displaystyle 0 ：

性質(zhì)

整階（α = n）第一類貝塞爾函數(shù)Jn常通過對其母函數(shù)（generating function）的羅朗級數(shù)（Laurent series）展開來定義：

上式得左邊即為整階第一類貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)，這是丹麥天文學家漢森于1843年提出的。（這種定義也可以通過路徑積分或其他方法推廣到非整數(shù)階）。整階函數(shù)的另一個重要性質(zhì)是下列雅可比-安格爾恒等式（Jacobi-Anger identity）：

利用這一等式可以將平面波展開成一系列柱面波的疊加，或者將調(diào)頻信號分解成傅里葉級數(shù)的疊加。

函數(shù)Jα、Yα、Hα和Hα均滿足遞推關(guān)系：

其中Z代表J, Y, H或H。（常將這兩個恒等式聯(lián)立推出其他關(guān)系）。從這組遞推關(guān)系可以通過低階貝塞爾函數(shù)（或它們的低階導數(shù)）計算高階貝塞爾函數(shù)（或它們的高階導數(shù)）。特別地，有：

由于貝塞爾方程對應的作用算符除以x 后便是一個（自伴隨的）厄米算符（Hermitian），所以它的解在適當?shù)倪吔鐥l件下須滿足正交性關(guān)系。特別地，可推得：

其中α > -1，δm,n為克羅內(nèi)克δ，uα,m表示Jα(x)的第m 級零點。這個正交性關(guān)系可用于計算傅里葉-貝塞爾級數(shù)中各項的系數(shù)，以利用該級數(shù)將任意函數(shù)寫成α固定、m 變化的函數(shù)Jα(xuα,m)的無窮疊加形式。（可以立即得到球貝塞爾函數(shù)相應的關(guān)系）。

另一個正交性關(guān)系是下列在α > -1/2時成立的“封閉方程”（closure equation）：

其中δ為狄拉克δ函數(shù)。球貝塞爾函數(shù)的正交性條件為（當α > 0）：

貝塞爾方程的另一個重要性質(zhì)與其朗斯基行列式（Wronskian）相關(guān)，由阿貝爾恒等式（Abel"s identity）得到：

其中Aα 和Bα是貝塞爾方程的任意兩個解，Cα是與x 無關(guān)的常數(shù)（由α和貝塞爾函數(shù)的種類決定）。譬如，若Aα = Jα、Bα = Yα，則Cα is 2/π。該性質(zhì)在修正貝塞爾函數(shù)中同樣適用，譬如，若Aα = Iα、Bα = Kα，則Cα為-1。

參考文獻

[1] 嚴鎮(zhèn)軍編，《數(shù)學物理方程》，第二版，中國科學技術(shù)大學出版社，合肥，2002，第82頁~第123頁，ISBN 7-312-00799-6/O·177

[2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) （英文）

[3] George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).

[4] Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958) ISBN 0-486-60462-4.

[5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1966) Cambridge University Press.

[6] G. Mie, "Beitr?ge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metall?sungen", Ann. Phys. Leipzig25(1908), p.377.

[7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics43 (9), 1951-1956 (2004).

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