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簡單應用

圓柱體

圓柱體

如果垂直轉(zhuǎn)軸切開圓柱體，設r{\displaystyle r}為半徑，可以得到橫切面面積為π π -->r2{\displaystyle \pi r^{2}}的圓形。根據(jù)祖暅原理，圓柱體的體積相等于底面積相等于圓面積π π -->r2{\displaystyle \pi r^{2}}、高為h{\displaystyle h}的長方體，所以半徑為r{\displaystyle r}和高為h{\displaystyle h}的圓柱體體積是π π -->r2? ? -->h{\displaystyle \pi r^{2}\cdot h}。

半球體

垂直（上）以及水平（下）切開半球體和對照立體

從其中一層以垂直表面的高h{\displaystyle h}橫切半徑為r{\displaystyle r}的半球體，根據(jù)勾股定理，半徑為：

所以橫切面面積是：

對照立體是一個擁有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一個圓錐體。高h{\displaystyle h}的對照立體環(huán)形切面有內(nèi)圓周r{\displaystyle r}以及外圓周h{\displaystyle h}，其面積如下：

因此兩個立體都滿足祖暅原理并且有相同體積。對照立體的體積便是圓柱體和圓錐體體積之差，所以

成功利用這條有名的方程計算出半球體體積，從而導出球體體積公式。

微積分

兩條方程式積分后的差與兩條方程式之差的積分

祖暅原理背后的概念經(jīng)常出現(xiàn)在微積分中。作為維度的一個例子，因此兩條方程式在兩個交點間的面積可以利用以下方程獲得：

實質(zhì)上表示了函數(shù)圖形f{\displaystyle f}和g{\displaystyle g}之間的A1{\displaystyle A_{1}}面積與函數(shù)圖形x? ? -->f(x)? ? -->g(x){\displaystyle x\mapsto f(x)-g(x)}下的A2{\displaystyle A_{2}}相同，而后者的交點距離與前者相等。由于現(xiàn)代數(shù)學中的積分和面積的互相關系，而體積可以通過微分計算，使祖暅原理變得更為少用。

參考文獻

（英文）伽利略計劃：卡瓦列里

（英文）

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