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定義

設(shè) n {\displaystyle n} 是一個正整數(shù)， r {\displaystyle r} 是正整數(shù)或 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } ， I {\displaystyle I} 是實數(shù)非空區(qū)間， t {\displaystyle t} 屬于 I {\displaystyle I} 。一個 C r {\displaystyle C^{r}} 類（即 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 為 r {\displaystyle r} 次連續(xù)可微）向量值函數(shù)

稱為一條 C r {\displaystyle C^{r}} 類參數(shù)曲線 或曲線 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 的一個 C r {\displaystyle C^{r}} 參數(shù)化， t {\displaystyle t} 稱為曲線 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 的參數(shù)， γ γ --> ( I ) {\displaystyle \gamma (I)} 稱為曲線的 像 。將曲線 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 和曲線的像 γ γ --> ( I ) {\displaystyle \gamma (I)} 區(qū)別開來非常重要，曲線是一個映射，而像是一個集合。一個給定的像可以描述為許多不同的 C r {\displaystyle C^{r}} 曲線。

可以想象參數(shù) t {\displaystyle t} 代表時間，而曲線 γ γ --> ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} 作為空間中一個運軌跡子軌跡。

如果 I 是閉區(qū)間 [ a , b ]，我們稱 γ( a ) 為曲線 γ 的 起點 而 γ( b ) 為 終點 。

如果 γ γ --> ( a ) = γ γ --> ( b ) {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)} ，我們說 γ 是 閉的 或是一個 環(huán)路 。進一步，我們稱 γ 是一條 閉 C -曲線 ，如果 γ (a) = γ ( b ) 對所有 k ≤ r 。

如果 γ γ --> : ( a , b ) → → --> R n {\displaystyle \gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}} 為單射，我們稱為 簡單 曲線。

如果參數(shù)曲線 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 局部可寫成冪級數(shù)，我們稱曲線 解析 或是 C ω ω --> {\displaystyle C^{\omega }} 類。

記號 - γ γ --> {\displaystyle \gamma } 表示朝相反的方向運動的曲線。

一條 C k {\displaystyle C^{k}} -曲線

稱為 m {\displaystyle m} 階正則 當且僅當對任何 t {\displaystyle t} 屬于 I {\displaystyle I}

在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中線性無關(guān)。

特別地，一條 C 1 {\displaystyle C^{1}} -曲線 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 是 正則 的如果

重新參數(shù)化與等價關(guān)系

給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數(shù)化。微分幾何旨在描述在一定的參數(shù)化下不變的性質(zhì)。所以我們需在所有參數(shù)曲線集合上定義一種合適的等價關(guān)系。曲線的微分幾何性質(zhì)（長度，F(xiàn)renet 標架和廣義曲率）在重新參數(shù)化下不變從而滿足等價類性質(zhì)。這個等價類稱為 C 曲線 ，是曲線的微分幾何研究的中心。

兩個 C 參數(shù)曲線

與

要稱為 等價 ，就要存在一個 C 雙射

使得

和

γ 2 稱為 γ 1 的 重新參數(shù)化 。這種 γ 1 的重新參數(shù)化在所有參數(shù) C 曲線的集合上定義了一種等價關(guān)系，其等價類稱為 C 曲線 。

對 定向 C 曲線 ，我們可以定義一種“加細”的等價關(guān)系，要求 φ 滿足 φ"( t ) > 0。

等價的 C 曲線有相同的像；等價的定向 C 曲線有相同的運動方向。

長度與自然參數(shù)化

C 曲線 γ : [ a , b ] → R 的長度 l 可以定義為

曲線的長度在重參數(shù)化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質(zhì)。

對任何正則 C （ r 至少為 1）曲線 γ: [ a , b ] → R 我們可以定義一個函數(shù)

寫成

這里 t ( s ) 是 s ( t ) 的逆函數(shù)，我們得到 γ 的一個新參數(shù)化 γ γ --> ˉ ˉ --> {\displaystyle {\bar {\gamma }}} ，稱為 自然 、 弧長 速度 單位速度 參數(shù)化；參數(shù) s ( t ) 稱為 γ 的 自然參數(shù) 。

我們偏愛這個參數(shù)，因為自然參數(shù) s ( t ) 以單位速度轉(zhuǎn)動 γ 的像，所以

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數(shù)，但在理論討論中很有用。

給定一條參數(shù)化曲線 γ( t ) 的自然參數(shù)化是在差一個參數(shù)移動的意義下是惟一的。

數(shù)量

經(jīng)常稱為曲線的 能量 或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的歐拉-拉格朗日運動方程。

Frenet 標架

空間曲線一點的 Frenet 標架示意圖。 T 是單位切向量， P 為單位法向量， B 是次法向量。

一個 Frenet 標架 是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ( t ) 局部性質(zhì)的 n 個正交向量 e i ( t ) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個局部參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體坐標系更容易和自然地描述局部性質(zhì)（如曲率、撓率）。

給定 R 中一條 n 階正則 C -曲線 γ，曲線的 Frenet 標架 是一組正交向量

稱為 Frenet 向量 。它們是通過對 γ( t ) 的各階導數(shù)使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

實值函數(shù) χ i ( t ) 稱為 廣義曲率 ，定義為

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數(shù)化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質(zhì)。

特殊 Frenet 向量和廣義曲率

最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關(guān)更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質(zhì)點的軌跡，那么質(zhì)點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的 切向量 。

數(shù)學表述為，給定一條曲線 γ = γ( t )，對參數(shù) t 的任何值： t = t 0 ， 向量：

是點 P = γ( t 0 ) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

是在時間 t 0 的速率。

第一個 Frenet 向量 e 1 ( t ) 是在同一方向的 單位切向量 ，在 γ 的每個正則點有定義：

如果 t = s 是自然參數(shù)則切向量有單位長，從而公式化簡為：

單位切向量確定了曲線的 定向 ，或隨著參數(shù)增長的前進方向。

法向量

法向量 ，有時也稱為 曲率向量 ，表明曲線和一條直線的偏離程度。

法向量定義為

其正規(guī)形式 單位法向量 ，是 Frenet 向量 e 2 ( t )，定義為

t 點的切向量和法向量張成 t 點的 密切平面 。

曲率

第一個廣義曲率 χ 1 ( t ) 稱為 曲率 ，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

稱為 γ 在點 t 的曲率。

曲率的倒數(shù)

稱為 曲率半徑 。

半徑為 r 的圓周有常曲率

但一條直線的曲率是 0 。

次法向量

次法向量 是第三個 Frenet 向量 e 3 ( t ) ， 總是正交于 t 點的 單位 切向量和單位法向量。其定義為

在 3 維空間中等式簡化為

撓率

第二廣義曲率 χ 2 ( t ) 稱為 撓率 ，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度?；蛘哒f，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內(nèi)（任何 t 都在這一個平面內(nèi)）。

稱為 γ 在點 t 的撓率。

曲線論主要定理

給定 n 個函數(shù)

滿足

那么存在 惟一的 （在差一個歐幾里得群作用的意義下） n 階正則 C -曲線 γ，具有如下性質(zhì)

這里集合

是曲面的 Frenet 標架。

再附加起始 t 0 ∈ I ，起始點 p 0 ∈ R 以及一個初始正交標架 { e 1 , ..., e n -1 } 滿足

那么我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。

Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數(shù) χ i 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

2-維

3-維

n 維一般公式

參考文獻

Erwin Kreyszig, Differential Geometry , Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.

陳維桓，微分幾何，北京大學出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709/O.0696.

另見

曲線論題列表

曲線的仿射幾何

弧

切線、切點、次切距

密切圓

包絡(luò)線、轉(zhuǎn)跡線

四頂點定理

測地線

等周問題

環(huán)繞數(shù)

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