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權(quán)的基本公式

求權(quán)的基本公式為

pi=μ μ -->2mi2(i=1,2… … -->){\displaystyle p_{i}={\frac {\mu ^{2}}{m_{i}^{2}}}(i=1,2\ldots )}

式中，μ μ -->{\displaystyle \mu }是任意常數(shù)，mi{\displaystyle m_{i}}是中誤差。由此可見，權(quán)與中誤差平方成反比，即精度越高，權(quán)越大。應(yīng)用上式求一組觀測值的權(quán)pi{\displaystyle p_{i}}時，必須采用同一個μ μ -->{\displaystyle \mu }值。

由該定義式，可以看出，當(dāng)mi=μ μ -->{\displaystyle m_{i}=\mu }時，pi=1{\displaystyle p_{i}=1}，所以μ μ -->{\displaystyle \mu }是權(quán)等于1的觀測值的中誤差，通常稱權(quán)等于1的權(quán)為單位權(quán)，權(quán)為1的觀測值為單位權(quán)觀測值。而μ μ -->{\displaystyle \mu }為單位權(quán)觀測值的中誤差，簡稱為單位權(quán)中誤差。

可以寫出各觀測值的權(quán)之間的比例關(guān)系：

p1:p2:? ? -->:pn=μ μ -->2m12:μ μ -->2m22:… … -->:μ μ -->2mn2=1m12:1m22:… … -->:1mn2{\displaystyle p_{1}:p_{2}:\dots :p_{n}={\frac {\mu ^{2}}{m_{1}^{2}}}:{\frac {\mu ^{2}}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {\mu ^{2}}{m_{n}^{2}}}={\frac {1}{m_{1}^{2}}}:{\frac {1}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {1}{m_{n}^{2}}}}

可知，一組觀測值的權(quán)之比等于他們的中誤差平方的倒數(shù)之比。不論假設(shè)μ μ -->{\displaystyle \mu }取何值，這組權(quán)之間的比例關(guān)系不變。所以，權(quán)反映了觀測值之間的相互精度關(guān)系。就計算p值來說，不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于確定他們之間的比例關(guān)系。mi{\displaystyle m_{i}}可以是同一個量的觀測中誤差，也可以是不同量的觀測中誤差，即權(quán)可以反映同一量的若干個觀測值之間的精度高低，也可以反映不同量的觀測值之間的精度高低。

普通測量中的定權(quán)

同精度丈量時，邊長的權(quán)與邊長成反比。

當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與路線長度成反比。

當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。

由不同個數(shù)的同精度觀測值求得得算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個數(shù)成正比。

觀測值函數(shù)的權(quán)

設(shè)有獨立觀測值 L1,L2,… … -->,Ln{\displaystyle L_{1},L_{2},\ldots ,L_{n}}，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差及權(quán)分別為m1,m2,… … -->,mn{\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}和p1,p2,… … -->,pn{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}。令觀測值函數(shù)為：

z=f(L1,L2… … -->Ln){\displaystyle z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})}

由誤差傳播及定權(quán)公式，得

μ μ -->2pz=(? ? -->f? ? -->L1)2μ μ -->2p1+(? ? -->f? ? -->L2)2μ μ -->2p1+… … -->+(? ? -->f? ? -->Ln)2μ μ -->2pn{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{p_{z}}}=\left({\frac {\partial f}{\partial L_{1}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial L_{2}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{n}}}}

式中(? ? -->f? ? -->Ln){\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)}是常量，用fi{\displaystyle f_{i}}表示，上式約去μ μ -->2{\displaystyle \mu ^{2}}后得

1pz=f121p1+f221p2+… … -->+fn21pn=[ffp]{\displaystyle {\frac {1}{p_{z}}}=f_{1}^{2}{\frac {1}{p_{1}}}+f_{2}^{2}{\frac {1}{p_{2}}}+\ldots +f_{n}^{2}{\frac {1}{p_{n}}}=\left[{\frac {ff}{p}}\right]}

這就是獨立觀測值權(quán)倒數(shù)與其函數(shù)權(quán)倒數(shù)之間關(guān)系的表達式。這個表達式成為權(quán)倒數(shù)傳播律。

廣義算術(shù)平均值的權(quán)，等于觀測值權(quán)之和。

px=[p]{\displaystyle p_{x}=[p]}

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