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定義

拓撲學

設集合X及其冪集P(X)，映射i: P(X)→P(X)稱為 內(nèi)部算子 ，當且僅當其滿足以下 內(nèi)部公理 ：

i1：?A?X，i(A)?A；

i2：?A?X，i(A)=i(i(A))；

i3：?A，B?X，i(A∩B)=i(A)∩i(B)

i4：i(X)=X；

其中對于X的子集A，i(A)稱為A的 內(nèi)部 ，i(A)中的點稱為A的 內(nèi)點 。

從內(nèi)部算子出發(fā)可以定義拓撲，這和從開集，閉集，閉包，鄰域，導集，基等概念出發(fā)定義拓撲的方式是等價的。

常用結論和性質

除了上述定義提到的，以下是一些常用的其它結論。

?A，B?X，A?B ? i(A)?i(B)。

?A，B?X，i(A∪B)?i(A)∪i(B)。

?A，B?X，A是開集 ? ( A?B ? A?i(B) )。（i(B)是包含于B的最大開集。)

?B?X，i(B) = ∪{A：A是開集，A?B}；（i(B)是B中所有開集之并。）

內(nèi)點

令 S 為歐幾里得空間的子集。若存在以 x 為中心的開球被包含于 S ，則 x 是 S 的內(nèi)點。

這個定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S 。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X ， x 是 S 的內(nèi)點，若對任意不屬于 S 或在 S 邊界上的 y ，都有 d ( x , y ) >0。

這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代“開球”。 設 S 是拓撲空間 X 的子集，則 x 是 S 的內(nèi)點，若存在 x 鄰域被包含于 S 。注意，這個定義并不要求鄰域是開的。

集合的內(nèi)部

集合 S 的 內(nèi)部 是 S 的所有內(nèi)點組成的集合。 S 的內(nèi)部寫作 int( S )、Int( S ) 或 S 。集合的內(nèi)部滿足下列性質：

int( S ) 是 S 的開子集。

int( S ) 是所有包含于 S 的開集的并集。

int( S ) 是包含于 S 的最大的開集。

集合 S 是開集，當且僅當 S = int( S )。

int(int( S )) = int( S )。（冪等）

若 S 為 T 的子集，則 int( S ) 是 int( T ) 的子集。

若 A 為開集，則 A 是 S 的子集，當且僅當 A 是 int( S ) 的子集。

有時候，上述第二或第三條性質會被作為拓撲內(nèi)部的 定義 。

舉例

在任意空間，空集的內(nèi)部是空集。

對任意空間 X , int( X ) = X .

若 X 為實數(shù)的歐幾里得空間 R ，則 int([0, 1]) = (0, 1)。

若 X 為實數(shù)的歐幾里得空間 R ，則有理數(shù)集合 Q 的內(nèi)部是空集。

若 X 為復平面 C = R ，則 int({ z 屬于 C : | z | ≥ 1}) = { z in C : | z | > 1}。

在任意歐幾里得空間，任意有限集合的內(nèi)部是空集。

在實數(shù)集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。

若 X = R ，且 R 有下限拓撲，則 int([0, 1]) = [0, 1)。

若考慮 R 中所有集合都是開集的拓撲，則 int([0, 1]) = (0, 1)。

若考慮 R 中只有空集和 R 自身是開集的拓撲，則 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的內(nèi)部取決于背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

在任意離散空間中，由于所有集合都是開集，所以所有集合都等于其內(nèi)部。

在任意不可分空間 X 中，由于只有空集和 X 自身是開集，所以 int( X ) = X 且對 X 的所有真子集 A ，int( A ) 是空集。

內(nèi)部算子

內(nèi)部算子 是閉包算子 的對偶，在如下意義上

還有

這里的 X 是包含 S 的拓撲空間，反斜杠指示補集。

因此，通過把集合替代為它的補集，閉包算子和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論可以輕易的轉換到使用內(nèi)部算子的語言中。

引用

PlanetMath上Interior的資料。

參見

內(nèi)部代數(shù)

外部

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