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矩陣表示

右矢與左矢可分別用N×1階和1×N階矩陣表示為：

不同的兩個態(tài)矢量的內(nèi)積則由一個括號來表示： ? ? --> ? ? --> | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } ，當(dāng)?shù)依朔栕饔糜趦蓚€基矢時，所得值為： ? ? --> e i | e j ? ? --> = δ δ --> i j {\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}} （ δ δ --> i j {\displaystyle \delta _{ij}} 為克羅內(nèi)克函數(shù)）

相同的態(tài)矢量內(nèi)積為： ? ? --> ψ ψ --> | ψ ψ --> ? ? --> = ∑ ∑ --> i | ψ ψ --> i | 2 {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}} 。

性質(zhì)

因為每個右矢是一復(fù)數(shù)希爾伯特空間中的一個矢量，而每個右矢-左矢關(guān)系是內(nèi)積，而直接地可以得到如下的操作方式：

給定任何左矢 ? ? --> ? ? --> | {\displaystyle \langle \phi |} 、右矢 | ψ ψ --> 1 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 以及 | ψ ψ --> 2 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } ，還有復(fù)數(shù) c 1 及 c 2 ，則既然左矢是線性泛函，根據(jù)線性泛函的加法與標(biāo)量乘法的定義，

給定任何右矢 | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle } 、左矢 ? ? --> ? ? --> 1 | {\displaystyle \langle \phi _{1}|} 以及 ? ? --> ? ? --> 2 | {\displaystyle \langle \phi _{2}|} ，還有復(fù)數(shù) c 1 及 c 2 ，則既然右矢是線性泛函，

給定任何右矢 | ψ ψ --> 1 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 及 | ψ ψ --> 2 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } ，還有復(fù)數(shù) c 1 及 c 2 ，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)（其中c*代表c的復(fù)數(shù)共軛），

給定任何左矢 ? ? --> ? ? --> | {\displaystyle \langle \phi |} 及右矢 | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rang公理 } ，內(nèi)積的一個公理性質(zhì)指出

給定任何算符 X {\displaystyle X} 、左矢 ? ? --> ? ? --> | {\displaystyle \langle \phi |} 及右矢 | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle } ，它們之間的合法相乘滿足乘法結(jié)合公理，例如，

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