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高線與垂心

任意一個(gè)三角形的三條高線交于一點(diǎn)，稱為該三角形的垂心。證明如下：

設(shè)有三角形ABC。過(guò)頂點(diǎn)A做BC的高線交BC于點(diǎn)D，過(guò)頂點(diǎn)B做AC的高線交AC于點(diǎn)E；直線AD和BE交于點(diǎn)H（如右圖）。只需證明直線CH垂直于AB，就證明了CH是過(guò)C點(diǎn)的高線，即三條高線相交于一點(diǎn)H。因?yàn)闅W氏幾何中，給定一點(diǎn)與一直線，只存在一條直線過(guò)這個(gè)定點(diǎn)并與給定的直線垂直。

下證CH垂直于AB。設(shè)CH和AB的交點(diǎn)為F。由于角AEB和角ADB（右圖中藍(lán)色角）都是直角，A、B、D、E四點(diǎn)共圓，同理，C、D、H、E四點(diǎn)共圓。所以角DCH等于角DEH，角DEH等于角DEB等于角DAB（紅色角相等）。

然而角DAB與角ABD（綠色角）的和是90度，所以角DCH與角ABD的和也是90度，即角FCB與角FBC的和是90度。因此三角形BCF是直角三角形，角BFC（紫色角）是直角。也就是說(shuō)CH垂直于AB。因此三角形的三條高線交于一點(diǎn)H。證畢。

垂心坐標(biāo)為(|x2x3+y2y31y1x3x1+y3y11y2x1x2+y1y21y3||x1y11x2y21x3y31|,|x2x3+y2y3x11x3x1+y3y1x21x1x2+y1y2x31||x1y11x2y21x3y31|){\displaystyle ({\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&1&y_{1}\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&1&y_{2}\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&1&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&x_{1}&1\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&x_{2}&1\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&x_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}})}

性質(zhì)

三條高線交于垂心

三角形的高可以用來(lái)計(jì)算其面積：三角形的面積S 等于過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的高乘以對(duì)邊的長(zhǎng)度再除以2： S=aha2{\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}

其中a 為某一條邊的邊長(zhǎng)，ha 為所對(duì)的頂點(diǎn)的高。

如果三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，那么過(guò)A點(diǎn)的高線與過(guò)A點(diǎn)的中線和角平分線重合。

直角三角形的垂心是斜邊所對(duì)的頂點(diǎn)。如果三角形ABC是直角三角形，其中角ACB是直角，那么過(guò)A點(diǎn)的高線是AC，過(guò)B點(diǎn)的高線是BC。三角形的垂心就是點(diǎn)C。

銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的垂心在三角形外部。

歐拉定理斷言，三角形的重心G、外心O 和垂心H 共線（稱為歐拉線），并且重心是連接外心和垂心的線段的一個(gè)三等分點(diǎn)：HG =2GO

垂心將高線分成的兩段的乘積相等：如右圖中，A1H× × -->HH1=A2H× × -->HH2=A3H× × -->HH3{\displaystyle A_{1}H\times HH_{1}=A_{2}H\times HH_{2}=A_{3}H\times HH_{3}}

三角形的垂心到一邊的距離，等于這邊上的高線的延長(zhǎng)線從垂足到外接圓的長(zhǎng)度。

外心O 和垂心H 為等角共軛點(diǎn)。

三角形的三個(gè)垂足都在九點(diǎn)圓的圓周上。每個(gè)頂點(diǎn)和垂心所連成的線段的中點(diǎn)也在九點(diǎn)圓上。實(shí)際上，九點(diǎn)圓的九個(gè)點(diǎn)就是三邊的中點(diǎn)和以上的六個(gè)點(diǎn)。九點(diǎn)圓的圓心也在歐拉線上，并且在垂心到外心的線段的中點(diǎn)。此外九點(diǎn)圓平分垂心與外接圓上的任一點(diǎn)的連線。

一個(gè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C和它的垂心H構(gòu)成一個(gè)垂心組： A、B、C、H。也就是說(shuō)，這四點(diǎn)中任意的三點(diǎn)的垂心都是第四點(diǎn)。

垂心的垂足三角形

三角形abc 是三角形ABC 的垂心的垂足三角形，它的內(nèi)心正是ABC的垂心H.

過(guò)平面上一點(diǎn)P 分別做垂直于三角形每條邊的垂線，與這條邊相交于一點(diǎn)（垂足）。這三個(gè)點(diǎn)連成的三角形稱為點(diǎn)P 的垂足三角形。垂心H 的垂足三角形是H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}。H 是三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}的內(nèi)心，而三角形A1A2A3{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}的三個(gè)頂點(diǎn)是三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}的三個(gè)旁心。

銳角三角形A1A2A3{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}的所有內(nèi)接三角形中，有最小周長(zhǎng)的是垂心H 的垂足三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}。如果一束光從三角形的某一個(gè)高線垂足H1{\displaystyle H_{1}}、H2{\displaystyle H_{2}}或H3{\displaystyle H_{3}}出發(fā)沿著三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}的邊的方向射出，那么它的光路將是閉合的，也就是三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}。這個(gè)性質(zhì)僅對(duì)于垂心的垂足三角形成立：如果從三角形某一邊某一點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)反射能形成一個(gè)三角形的閉合光路，那么這個(gè)光路必然是三角形H1H2H3{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}。

垂心H 的垂足三角形的各個(gè)邊分別平行于三角形的外接圓在各個(gè)頂點(diǎn)處的切線。

在三角形A1A2A3{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}中，三角形A1H2H3{\displaystyle A_{1}H_{2}H_{3}}、三角形H1A2H3{\displaystyle H_{1}A_{2}H_{3}}和三角形H1H2A3{\displaystyle H_{1}H_{2}A_{3}}的外接圓交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是A1A2A3{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}的垂心H。

高線的長(zhǎng)度

過(guò)三角形某一頂點(diǎn)的高線的長(zhǎng)度稱為過(guò)這點(diǎn)的高或這一點(diǎn)上的高。三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C上的高通常分別記作ha{\displaystyle h_{a}}、hb{\displaystyle h_}、hc{\displaystyle h_{c}}。它們可以用三角形三邊的邊長(zhǎng)a、b、c（分別是頂點(diǎn)A、B、C的對(duì)邊：BC、CA和AB的長(zhǎng)度）來(lái)表示：

其中s是三角形的半周長(zhǎng)：2s=a+b+c{\displaystyle 2s=a+b+c}。這三個(gè)關(guān)系式可以通過(guò)海倫公式：

以及三角形的面積公式：S=aha2{\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}推出來(lái)。

高與內(nèi)切圓半徑

三角形內(nèi)切圓的半徑r與三個(gè)頂點(diǎn)上的高h(yuǎn)a{\displaystyle h_{a}}、hb{\displaystyle h_}、hc{\displaystyle h_{c}}有如下的關(guān)系：

而三角形的三個(gè)旁切圓的半徑也和高有類似的關(guān)系：

其中的ra{\displaystyle r_{a}}、rb{\displaystyle r_}、rc{\displaystyle r_{c}}分別指圓心在三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C射出的內(nèi)角平分線上的旁切圓Ja{\displaystyle J_{a}}、Jb{\displaystyle J_}、Jc{\displaystyle J_{c}}的半徑。

反海龍公式

如果設(shè)hs=(ha? ? -->1+hb? ? -->1+hc? ? -->1)/2{\displaystyle h_{s}=(h_{a}^{-1}+h_^{-1}+h_{c}^{-1})/2}，那么有以下類似于海龍公式的三角形面積公式：

參見(jiàn)

垂心組

垂足三角形

垂直

九點(diǎn)圓

參考來(lái)源

R.A.約翰遜，單墫 譯. 《近代歐氏幾何學(xué)》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5. 

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