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自由函子

范疇論為自由對(duì)象提供了普遍框架?？紤]一種代數(shù)結(jié)構(gòu)（如群、模等等）的范疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 。其上具有一個(gè)遺忘函子 U : C → → --> S e t {\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} } ，此函子將一個(gè)對(duì)象映至其下的集合；換言之，此函子“遺忘”所有代數(shù)操作。

若 U {\displaystyle U} 有左伴隨函子 F : S e t → → --> C {\displaystyle F:\mathbf {Set} \to {\mathcal {C}}} ，則稱(chēng)之為 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的 自由函子 。 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 可以設(shè)想為由集合 X {\displaystyle X} 生成的自由對(duì)象，此時(shí)也有映射 X → → --> F ( X ) {\displaystyle X\to F(X)} （在此濫用了符號(hào)：其實(shí) F ( X ) {\displaystyle F(X)} 是個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，而 X {\displaystyle X} 卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對(duì)象的包含映射。

對(duì)于更一般的遺忘函子，也能考慮相應(yīng)的自由函子，例如從 k {\displaystyle k} -向量空間映至其張量代數(shù)的函子，便是從 k {\displaystyle k} -代數(shù)映至 k {\displaystyle k} -向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下，張量代數(shù)有時(shí)也稱(chēng)為自由代數(shù)。

例子

自由半群

自由么半群

自由群

自由阿貝爾群

自由模

自由格

自由代數(shù)

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