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一般性質(zhì)

對合是雙射。

恒等映射是一個對合的平凡例子。數(shù)學中更常見的有趣對合例子包括算術中的乘以?1 和取倒數(shù)，集合論中的補集，和復共軛。

其他例子包括圓反演、ROT13變換，和 Beaufort 多字母表密碼.

歐幾里得幾何中的對合

三維歐幾里得空間中對合的簡單例子是對一個平面的反射。做兩次反射就回到了起點。

這個變換是仿射對合的特殊情況。

線性代數(shù)中的對合

在線性代數(shù)中，對合是線性算子 T 使得 T 2 = I {\displaystyle T^{2}=I} 。除了有特征 2，這種算子可對角化為在對角線上有 1 和 -1。如果這個算子是正交的(正交對合)，它是正交可對角化的。

對合有關于冪等；如果 2 是可逆的，(在特征不是 2 的領域中)，它們是等價的。

環(huán)論中的對合

在環(huán)論中，對合通常意味著是自己逆函數(shù)的自同態(tài)。例子包括復共軛和矩陣的轉(zhuǎn)置。

群論中的對合

在群論中，一個群的元素是對合，如果它的階為2；也就是說，對合是一個元素a，使得a ≠ e且a = e，其中e是單位元。這個定義原來與以上的定義沒有任何不同，因為群的元素總是從一個集合到它本身的雙射，也就是說，“群”的意思是“置換群”。到了19世紀末，群的定義變得更加廣泛，相應地，對合也變得更加廣泛。由一個對合通過復合函數(shù)生成的雙射群，與循環(huán)群C2同構(gòu)。

一個置換是對合，當且僅當它可以寫成一個或多個不重合的對換的乘積。

群的對合對群的結(jié)構(gòu)有很大影響。對合的研究在有限單群分類中是十分有用的。

數(shù)理邏輯中的對合

在布爾代數(shù)中補運算是對合。因此在經(jīng)典邏輯中的否定滿足“雙重否定律”: ??A 等價于 A。

一般在非經(jīng)典邏輯中，滿足雙重否定律的的否定叫做對合性的。在代數(shù)語義中，這樣的否定被實現(xiàn)為在邏輯真值的代數(shù)上對合。有對合性否定的邏輯的例子有 Kleene 和 Bochvar 的三值邏輯、?ukasiewicz 多值邏輯、模糊邏輯IMTL 等。對合性否定有時作為額外的連結(jié)詞而增加到有非對合性否定的邏輯中；比如形式模糊邏輯。

否定的對合性是邏輯和對應的代數(shù)簇的重要特征性質(zhì)。例如，對合性否定從Heyting代數(shù)中特征化出了布爾代數(shù)。相應的，經(jīng)典布爾邏輯可印發(fā)自直覺邏輯加上雙重否定律。

對合的總數(shù)

在有 n = 0, 1, 2, … 個元素的集合上對合的數(shù)目給出自遞推關系:

這個序列的前幾項是 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 （OEIS中的數(shù)列A000085）。

參見

自同構(gòu)

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