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定理的陳述

設(shè)(M,d)為一個可分度量空間（例如實數(shù)，度量為通常的距離d(a,b) = |a ? b|）。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函數(shù)的序列(fn)，以及一個有限μ-測度的可測子集A，使得(fn)在A上μ-幾乎處處收斂于極限函數(shù)f，那么以下結(jié)果成立：對于每一個ε > 0，都存在A的一個可測子集B，使得μ(B) fn)在相對補(bǔ)集A \ B上一致收斂于f。

在這里，μ(B)表示B的μ-測度。該定理說明，在A上幾乎處處逐點收斂，意味著除了在任意小測度的某個子集B上外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

假設(shè)的討論

注意μ(A) < ∞的假設(shè)是必要勒貝格測度格測度下，考慮定義在實直線上的實值指示函數(shù)的序列：

這個序列處處逐點收斂于零函數(shù)，但對于任何有限測度的集合B，它在R \ B上不一致收斂。

度量空間的可分性是需要的，以保證對于M-值可測函數(shù)f和g，距離d(f(x), g(x))也是x的可測實值函數(shù)。

證明

對于實數(shù)n和k，定義集合En,k為以下并集：

當(dāng)n增加時這些集合逐漸變小，意味著En+1,k總是En,k的子集，因為第一個并集包含了較少的集合。一個點x，使得序列(fm(x))收斂于f(x)，不能位于每一個En,k中（對于固定的k），因為fm(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據(jù)在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設(shè)，有：

對于每一個k。由于A的測度是有限的，我們便可從上面推出連續(xù)性；因此對于每一個k，都存在某個自然數(shù)nk，使得：

對于這個集合中的x，我們認(rèn)為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義

為A中所有點x的集合，使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此，在集合差A(yù) \ B上，我們便得出一致收斂。

根據(jù)μ的σ可加性，并利用幾何級數(shù)，我們便得到：

參考文獻(xiàn)

Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.

Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.

Eric W. Weisstein et al. (2005).Egorov"s Theorem. 于2005年4月19日訪問。

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