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群的情形

設(shè) G {\displaystyle G} 為群， G {\displaystyle G} 的合成列是對(duì)應(yīng)于一族子群

滿足 H i ? ? --> H i + 1 {\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}} ，使其子商 H i + 1 / H i {\displaystyle H_{i+1}/H_{i}} 皆為非單群的單群；易言之， H i {\displaystyle H_{i}} 是 H i + 1 {\displaystyle H_{i+1}} 的極大正規(guī)子群。這些子商也稱作 合成因子 。對(duì)于有限群，恒存在合成列。

模的情形

固定環(huán) R {\displaystyle R} 及 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 。 M {\displaystyle M} 的 合成列 是一族子模

其中每個(gè)子商 J k + 1 / J k {\displaystyle J_{k+1}/J_{k}} 皆為非平凡的單模。易言之， J k {\displaystyle J_{k}} 是 J k + 1 {\displaystyle J_{k+1}} 的極大子模。這些子商也稱為 合成因子 。若 R {\displaystyle R} 是阿廷環(huán)，根據(jù) Hopkins-Levitzki 定理 ，任何有限生成的 R {\displaystyle R} -模皆有合成列。

例子

例子 . 考慮 12 階循環(huán)群 C 12 {\displaystyle C_{12}} ，它具有三個(gè)相異的合成列

合成因子分別為

其間僅差個(gè)置換。

若爾當(dāng)-赫爾德定理

略證 ：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設(shè)存在兩個(gè)合成列

對(duì) m i n ( r , s ) {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)} 行數(shù)學(xué)歸納法。若 m i n ( r , s ) = 0 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0} 則 M = 0 {\displaystyle M=0} ，若 m i n ( r , s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1} 則 M {\displaystyle M} 是單模。以下假定 r , s ≥ ≥ --> 2 {\displaystyle r,s\geq 2} 。

若 M r ? ? --> 1 = M s ? ? --> 1 {\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}} ，據(jù)歸納法假設(shè)， r ? ? --> 1 = s ? ? --> 1 {\displaystyle r-1=s-1} 且 M i + 1 / M i {\displaystyle M_{i+1}/M_{i}} 與 M i + 1 ′ / M i ′ {\displaystyle M"_{i+1}/M"_{i}} （ 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> r ? ? --> 2 {\displaystyle 0\leq i\leq r-2} ）之間僅差置換。此外 M / M r ? ? --> 1 = M / M s ? ? --> 1 ′ {\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M"_{s-1}} ，故定理成立。

設(shè) M r ? ? --> 1 ≠ ≠ --> M s ? ? --> 1 ′ {\displaystyle M_{r-1}\neq M"_{s-1}} 。此時(shí)必有 M r ? ? --> 1 + M s ? ? --> 1 ′ = M {\displaystyle M_{r-1}+M"_{s-1}=M} 。置 N := M r ? ? --> 1 ∩ ∩ --> M s ? ? --> 1 ′ {\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M"_{s-1}} ，于是

取 N {\displaystyle N} 的合成列 { 0 } = K 0 ? ? --> ? ? --> ? ? --> K t = N {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N} ，依上式知

皆為合成列，其合成因子僅差個(gè)換位。根據(jù)歸納法假設(shè)，若同刪去尾項(xiàng) M {\displaystyle M} ，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同于合成列 M ? ? --> , M ? ? --> ′ {\displaystyle M_{\bullet },M"_{\bullet }} 的合成因子，至多差個(gè)置換。是故定理得證。

參見(jiàn)

正規(guī)列

長(zhǎng)度 (模論)

站外連結(jié)

O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov,Composition sequence, (編) Hazewinkel, Michiel,數(shù)學(xué)百科全書(shū), Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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