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定理的陳述和第一個(gè)推論

定理準(zhǔn)確的陳述如下。 設(shè) θ 是一個(gè) n 維流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一點(diǎn)都有

那么有一個(gè)局部的坐標(biāo)系x1,...,xn-p, y1, ..., yp ，在這個(gè)坐標(biāo)系下

dyp。 另一個(gè)方面，如果任一點(diǎn)有

那么有一個(gè)局部坐標(biāo)系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp 使得

特別的，設(shè) ω 是 n=2m 維流形 M 上的一個(gè)辛 2-形式。M 上任一點(diǎn) p 的局部，由龐加萊引理，總有一個(gè) 1-形式 θ 滿足 dθ=ω 。進(jìn)一步 θ 滿足達(dá)布定理的第一個(gè)假設(shè)，從而局部存在一個(gè) p 附近的坐標(biāo)卡 U 使得

取外導(dǎo)數(shù)便有

坐標(biāo)卡 U 稱為 p 附近的達(dá)布坐標(biāo)卡。 流形 M 能被這樣的卡覆蓋。

換一種方式敘述，將 R 與 C 等同起來，令 zj = xj + i yj。如果 φ : U → C是一個(gè)達(dá)布坐標(biāo)卡，那么 ω 是標(biāo)準(zhǔn)辛形式 ω0 在 C 上的拉回:

和黎曼幾何的比較

這個(gè)結(jié)論意味著辛幾何沒有局部不變性：在任何一點(diǎn)附近，總能取一個(gè)達(dá)布基。這和黎曼幾何具有顯著的不同，高斯絕妙定理指出曲率是黎曼幾何的一個(gè)局部不變量。曲率阻礙了將度量局部寫成一個(gè)平方和。

必須要強(qiáng)調(diào)的是，達(dá)布定理是說 ω 能在 p 附近的“整個(gè)鄰域”寫成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式。黎曼幾何中，度量總能在給定一“點(diǎn)”寫成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式，但一般不能在那個(gè)點(diǎn)的鄰域，除非局部為歐氏空間。

又見

Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，這個(gè)定理的一個(gè)推廣。

參考文獻(xiàn)

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Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der K?niglichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814–1815: 76–136. 

Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. 

McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

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