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簡介

莫比烏斯變換是定義在擴充復(fù)平面上的（擴充復(fù)平面是指在普通的復(fù)平面加入無窮遠(yuǎn)點構(gòu)成的集合）

擴充復(fù)平面可以看做是一個球面，它的另一個名稱就是黎曼球面。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應(yīng)的共形變換。事實上，所有這樣的變換都是莫比烏斯變換。

所有莫比烏斯變換的集合在函數(shù)復(fù)合作用下構(gòu)成一個群，稱為“莫比烏斯群”，記作 M(C^ ^ -->){\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}。這個群是黎曼球面（作為一個黎曼曲面）的自同構(gòu)群，因此有時也被記作：

莫比烏斯群同構(gòu)于三維雙曲空間中的保向等距同構(gòu)群，因此在三維雙曲空間中的子流形的研究中占有重要地位。

定義

莫比烏斯變換的常見形式為：

其中a、b、c、d是任何滿足 ad ? bc ≠ 0 的復(fù)數(shù)（當(dāng)ad = bc 的時候這個表達(dá)式退化成一個常數(shù)，通常約定常數(shù)函數(shù)不是莫比烏斯變換）。當(dāng)c≠0 時，定義

這樣便將莫比烏斯變換擴展到整個黎曼球面上。

如果c=0，那么定義

這樣定義后莫比烏斯變換就成為了黎曼球面上的一個一一對應(yīng)的全純函數(shù)。

由于對莫比烏斯變換的每一個系數(shù)乘上一個相同的系數(shù)λ λ -->{\displaystyle \lambda }后不會改變這個變換：λ λ -->az+λ λ -->bλ λ -->cz+λ λ -->c=az+bcz+d{\displaystyle {\frac {\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda c}}={\frac {az+b}{中將+d}}}，所以也有的定義中將ad ? bc ≠ 0 的條件改成 ad ? bc = 1. 這樣的定義下得到的莫比烏斯變換可以說是“約簡后”的莫比烏斯變換。

分解與基本性質(zhì)

莫比烏斯變換的實質(zhì)與反演密切相關(guān)。實際上，一個形如

的莫比烏斯變換可以分解成四個變換：

f1(z)=z+d/c{\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\!} （按d/c 做平移變換）；

f2(z)=1/z{\displaystyle f_{2}(z)=1/z\!} （關(guān)于單位圓做反演變換然后關(guān)于實數(shù)軸做鏡面反射）；

f3(z)=(? ? -->(ad? ? -->bc)/c2)? ? -->z{\displaystyle f_{3}(z)=(-(ad-bc)/c^{2})\cdot 原點!} （做關(guān)于原旋轉(zhuǎn)位似變換然后做旋轉(zhuǎn)）；

f4(z)=z+a/c{\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\!}（按a/c 做平移變換）。

這四個變換的復(fù)合就是莫比烏斯變換：

在這種分解之下，我們可以清楚地看出莫比烏斯變換的不少基本性質(zhì)。首先，由于以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比烏斯變換的逆變換也是一個莫比烏斯變換，而且其表達(dá)式可以具體計算。具體來說，設(shè)變換函數(shù)g1,g2,g3,g4{\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}} ，其中每一個gi{\displaystyle g_{i}}都是相應(yīng)的fi{\displaystyle f_{i}}的逆變換（反函數(shù)），

那么莫比烏斯變換f的逆變換就是：

保角性與保圓性

由于莫比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉(zhuǎn)變換，因此能夠保持所有反演變換的性質(zhì)。一個基本的例子是保角性：由于平移、反演、位似與旋轉(zhuǎn)變換都保持角度不變，因此兩個復(fù)數(shù)（或向量）之間的幅角差（夾角）在經(jīng)過莫比烏斯變換后不變。

此外，一個廣義圓經(jīng)過莫比烏斯變換后，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠(yuǎn)點的直線（可以認(rèn)為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結(jié)果。當(dāng)然莫比烏斯變換并不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經(jīng)過映射后直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

復(fù)比不變性

莫比烏斯變換也可以保持復(fù)數(shù)的復(fù)比不變。設(shè)有四個兩兩不同的復(fù)數(shù)z1,z2,z3,z4{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}，對應(yīng)擴充復(fù)平面上四個不同的點，它們經(jīng)過莫比烏斯變換后變成w1,w2,w3,w4{\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}四點，那么復(fù)比：

當(dāng) z1,z2,z3,z4{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} 中有一個或多個是無窮大時，復(fù)比就定義為相應(yīng)逼近的極限。比如說當(dāng)四個復(fù)數(shù)是 z1,z2,z3,∞ ∞ -->{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty } 時，復(fù)比就是：

確定莫比烏斯變換

給定平面上三個不同點 z1,z2,z3{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}，存在著唯一的一個莫比烏斯變換f{\displaystyle f}，使得f(z1),f(z2),f(z3){\displaystyle f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3})} 分別等于 0,1,∞ ∞ -->{\displaystyle 0,1,\infty }。這個莫比烏斯變換就是：

而由于對于另外的三個不同點 w1,w2,w3{\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}，也唯一存在一個莫比烏斯變換g{\displaystyle g}，使得g(z1),g(z2),g(z3){\displaystyle g(z_{1}),g(z_{2}),g(z_{3})} 分別等于 0,1,∞ ∞ -->{\displaystyle 0,1,\infty }。因此，對于任意一組出發(fā)點 z1,z2,z3{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}，任意一組到達(dá)點 w1,w2,w3{\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}，都唯一存在一個莫比烏斯變換，將z1,z2,z3{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} 分別映射到點 w1,w2,w3{\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}。具體地說，這個變換就是g(? ? -->1)° ° -->f{\displaystyle g^{(-1)}\circ f}。作為推論，如果一個莫比烏斯變換有三個不動點，那么它是恒等變換。

矩陣表示

莫比烏斯變換構(gòu)成的莫比烏斯群M(C^ ^ -->){\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}和由二階復(fù)可逆矩陣所構(gòu)成的二階復(fù)系數(shù)一般線性群GL2(C){\displaystyle {\mathcal {GL}}_{2}(\mathbb {C} )}有同態(tài)的關(guān)系。事實上，考慮一個二階的可逆矩陣：A=(a1a2a3a4){\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{3}&a_{4}\end{pmatrix}}}，其中a1a4? ? -->a2a3≠ ≠ -->0{\displaystyle a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}\neq 0}，那么由矩陣的系數(shù) a1,a2,a3,a4{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}} 可以寫出一個莫比烏斯變換：

而如果考慮映射：

則經(jīng)過計算可以知道，gAB=gA° ° -->gB{\displaystyle g_{AB}=g_{A}\circ g_{B}}，也就是說：

因此φ φ -->{\displaystyle \varphi }是一個群同態(tài)。

注意到對所有的復(fù)數(shù)λ λ -->{\displaystyle \lambda }，λ λ -->a1z+λ λ -->a2λ λ -->a3z+λ λ -->a4=a1z+a2a3z+a4{\displaystyle {\frac {\lambda a_{1}z+\lambda a_{2}}{\lambda a_{3}z+\lambda a_{4}}}={\frac {a_{1}z+a_{2}}{a_{3}z+a_{4}}}}，所以變換g(λ λ -->A)=gA{\displaystyle g_{(\lambda A)}=g_{A}}。因此，可以將起始空間由一般線性群縮小到特殊線性群SL2(C){\displaystyle {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}。而由于有且僅有單位矩陣Id2{\displaystyle \mathbf {Id} _{2}}和負(fù)單位矩陣? ? -->Id2{\displaystyle -\mathbf {Id} _{2}}在群同態(tài)φ φ -->{\displaystyle \varphi }下對應(yīng)的莫比烏斯變換是恒等變換，所以φ φ -->{\displaystyle \varphi }的核是{Id2,? ? -->Id2}{\displaystyle \left\{\mathbf {Id} _{2},-\mathbf {Id} _{2}\right\}}。根據(jù)群同態(tài)基本定理，有以下群同構(gòu)關(guān)系：

其中PSL2(C){\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}為復(fù)平面上的射影特殊線性群。

參見

雙曲幾何

洛侖茲群

共形幾何

龐加萊半平面模型

射影幾何

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