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概述

為了研究一個系統(tǒng)內部蘊藏的數(shù)學結構，表述此系統(tǒng)的函數(shù)關系 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 改用一個新函數(shù) f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 來表示，其變數(shù) p {\displaystyle p\,\!} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的導數(shù)， p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm nz4munq f}{\mathrm 2xm8ikt x}}\,\!} 。而 f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的值是如右圖藍線在 y 軸的截距

換句話說，從 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))\,\!} x 值到 y 值的函數(shù)，轉換成 ( p , f ? ? --> ( p ) ) {\displaystyle (p,f^{\star }(p))\,\!} f(x) 在 x 點的導數(shù)到在 x 點切線 y 截距的函數(shù)

這程序是由阿德里安-馬里·勒壤得所發(fā)明的，因此稱為勒讓德變換。稱函數(shù) f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 為 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒讓德變換；

用方程表示

此式子表示 f ? ? --> ( p ) = p u ? ? --> f ( u ) {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)} 中的 u 對 f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)} 而言是個參數(shù)，且參數(shù) u 會滿足 d [ p u ? ? --> f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle {{\mathrm w9skabu [pu-f(u)] \over \mathrm 9eh3wv7 u}=0}\,\!} 的 u {\displaystyle u} 。即求算表達式關于變數(shù) u {\displaystyle u\,\!} 的極值。

為方便討論，把討論限定在 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 為嚴格單調遞增。會有這方程是因為在 p = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle p=f"(x_{0})} 也就是斜率不變的狀況下，對每個 x 0 {\displaystyle x_{0}} 而言，所有與曲線 ( u , f ( u ) ) {\displaystyle (u,f(u))} 相交且斜率為 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f"(x_{0})} 的直線族為 y = f ′ ( x 0 ) ( x ? ? --> u ) + f ( u ) {\displaystyle y=f"(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!} 。若令 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} ，該直線即是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的切線方程。把x當作常數(shù)并由右圖直接觀察可知，在 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} 的情況下， y = f ′ ( x 0 ) ( x ? ? --> u ) + f ( u ) = f ′ ( x 0 ) x ? ? --> [ f ′ ( x 0 ) u ? ? --> f ( u ) ] {\displaystyle y=f"(x_{0})(x-u)+f(u)=f"(x_{0})x-[f"(x_{0})u-f(u)]} 值是最小的，也就是說直線方程中 [ f ′ ( x 0 ) u ? ? --> f ( u ) ] {\displaystyle [f"(x_{0})u-f(u)]} 這部分是最大的，而正好 f ? ? --> ( p ) = p u ? ? --> f ( u ) | d [ p u ? ? --> f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm g4uk4j0 [pu-f(u)] \over \mathrm zenujsc u}=0}\,\!} ，正是原方程所求的極值。

勒讓德變換是點與線之間對偶性關系（duality）的一個應用。函數(shù) f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 設定的函數(shù)關系可以用 ( x ,   y = f ( x ) ) {\displaystyle (x,\ y=f(x))\,\!} 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數(shù)p有一對一的關系)集合表示。

若將勒讓德變換廣義化，則會變?yōu)槔杖赖?芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒讓德變換時常用于熱力學與哈密頓力學。

定義

最大值式定義

更詳細地定義勒讓德變換，為了求得 L ( x ,   p ) = p x ? ? --> f ( x ) {\displaystyle L(x,\ p)=px-f(x)\,\!} 關于 x {\displaystyle x\,\!} 的最大值，設定 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 關于 x {\displaystyle x\,\!} 的偏導數(shù)為零：

則

這表達式必為最大值。因為，凸函數(shù) L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 的二階導數(shù)是負數(shù)：

用方程 (1) 來計算函數(shù) f {\displaystyle f\,\!} 的反函數(shù) x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。代入 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 方程，即可以得到想要的形式：

計算 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒讓德變換，所需的步驟為：

找出導函數(shù) p = d f d x {\displaystyle p={\frac {df}{dx}}\,\!} ，

計算導函數(shù) p = d f d x {\displaystyle p={\frac {df}{dx}}\,\!} 的反函數(shù) x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} ，

代入 F ( x ) {\displaystyle F(x)\,\!} 方程來求得新函數(shù) f ? ? --> ( p ) = g ( p )   p ? ? --> f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!} 。

這定義切確地闡明：勒讓德變換制造出一個新函數(shù) f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} ；其新自變數(shù)為 p = d f d x {\displaystyle p={df \over dx}\,\!} 。

反函數(shù)式定義

另外一種勒讓德變換的定義是：假若兩個函數(shù) f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 與 f ? ? --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的一階導數(shù)是互相的反函數(shù)；

或者，

則 f {\displaystyle f\,\!} 與 f ? ? --> {\displaystyle f^{\star }\,\!} 互相為彼此的勒讓德變換。

依照定義，

思考下述運算：

所以，

這里， x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。

這答案是標準答案；但并不是唯一的答案。設定

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會采用非標準的答案。除非另外注明，此頁面一律采用標準答案。

數(shù)學性質

以下討論，函數(shù) f {\displaystyle f\,\!} 的勒讓德變換皆標記為 f ? ? --> {\displaystyle f^{\star }\,\!} 。

標度性質

勒讓德變換有以下這些標度性質：

由此可知，一個 r {\displaystyle r\,\!} 次齊次函數(shù)的勒讓德變換是一個 s {\displaystyle s\,\!} 次齊次函數(shù)；這里，

平移性質

反演性質

線形變換性質

讓 A {\displaystyle A\,\!} 成為一個從 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 到 R m {\displaystyle R^{m}\,\!} 的線形變換。對于任何定義域為 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 的凸函數(shù) f {\displaystyle f\,\!} ，必有

這里， A ? ? --> {\displaystyle A^{\star }\,\!} 是 A {\displaystyle A\,\!} 的伴隨算子定義為

應用

熱力學

在熱力學里，使用勒讓德變換主要的目的是，將一個函數(shù)與所含有的一個自變數(shù)，轉換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變數(shù)，（此新自變數(shù)是舊函數(shù)對于舊自變數(shù)的偏導數(shù)）；將舊函數(shù)減去新自變數(shù)與舊自變數(shù)的乘積，得到的差就是新函數(shù)。勒讓德變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 U {\displaystyle U\,\!} 是外延量（extensive）熵 S {\displaystyle S\,\!} ，體積 V {\displaystyle V\,\!} ，與化學成分（chemical composition） N i {\displaystyle N_{i}\,\!} 的顯函數(shù)

對于 ? ? --> P V {\displaystyle -PV\,\!} ，函數(shù) U {\displaystyle U\,\!} （非標準的）勒讓德變換為焓函數(shù) H {\displaystyle H\,\!} ：

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數(shù)。當壓力是常數(shù)時，這函數(shù)很有用。

對于 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函數(shù) H {\displaystyle H\,\!} 勒讓德變換為吉布斯能函數(shù) G {\displaystyle G\,\!}  :

對于 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函數(shù) U {\displaystyle U\,\!} 勒讓德變換為亥姆霍茲自由能函數(shù) A {\displaystyle A\,\!}  :

這些自由能函數(shù)時常用在常溫的物理系統(tǒng)。

經典力學(哈密頓力學)

在經典力學里，勒讓德變換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} 是廣義坐標 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … … --> ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!} 與廣義速度 q ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\,\!} 的函數(shù)；而哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 將函數(shù)的自變量轉換為廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 與廣義動量 p = ( p 1 ,   p 2 ,   … … --> ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!} ：

正則變換

正則變換廣泛地應用勒讓德變換在其理論里。正則變換是一種正則坐標的改變， ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!} ，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程為

這里， q ,   p {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!} 是舊正則坐標， Q ,   P {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!} 是新正則坐標， H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 是舊哈密頓量， K {\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!} 是新哈密頓量， G {\displaystyle G\,\!} 是生成函數(shù)。

參閱

哈密頓力學

切觸幾何

正則變換

參考文獻

Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 

Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4. 

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