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等價(jià)的阿佩爾序列定義方式

最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的

對所有的 n = 1, 2, 3, ..., ddxpn(x)=npn? ? -->1(x),{\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}并且 p0(x) 是一個(gè)非零常數(shù)

的關(guān)系式。此外，以下的條件也可以被驗(yàn)證是與之等價(jià)的：

純數(shù)數(shù)列 {cn}n = 0, 1, 2, ... 滿足 c0 ≠ 0，并且 pn(x)=∑ ∑ -->k=0n(nk)ckxn? ? -->k;{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};}

純數(shù)數(shù)列 {cn}n = 0, 1, 2, ... 滿足 c0 ≠ 0，并且 pn(x)=(∑ ∑ -->k=0∞ ∞ -->ckk!Dk)xn,{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},}其中 D=ddx;{\displaystyle D={d \over dx};}

對所有的 n = 0, 1, 2, ..., pn(x+y)=∑ ∑ -->k=0n(nk)pk(x)yn? ? -->k.{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.}

遞歸公式

假設(shè)

其中后一個(gè)等式是在以x為不定元的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間中的線性算子 S 的定義式。并定義：

為 S 的逆算子，其中的系數(shù) ak 是形式冪級數(shù)的逆系數(shù)。這樣得到

在影子演算的約定中，算子 T 一般被用來代表阿佩爾序列 {pn}，可以定義對數(shù)算子：

運(yùn)用通常的 log(1 + x) 的冪級數(shù)展開表達(dá)式以及通常的復(fù)合形式冪級數(shù)定義后，可以得到：

當(dāng)阿佩爾序列是埃爾米特多項(xiàng)式的時(shí)候，這個(gè)關(guān)系式也可以變化為埃爾米特多項(xiàng)式的遞推公式。

參見

謝弗序列

影子演算

廣義阿佩爾多項(xiàng)式

Wick積

參考來源

Paul Appell, "Sur une classe de polyn?mes", Annales scientifiques de l"école Normale Supérieure 2 série, tome 9, 1880.

Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978).

G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.

Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications. 

Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 0-677-04150-0. 

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