亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

復(fù)變函數(shù)

曼德博集合，分形

復(fù)變函數(shù)，是自變量和應(yīng)變量都為復(fù)數(shù)的函數(shù)。更確切的說(shuō)，復(fù)函數(shù)的值域與定義域都是復(fù)平面的子集。在復(fù)分析中，自變量又稱為函數(shù)的“宗量”。

對(duì)于復(fù)函數(shù)，自變量和應(yīng)變量可分成實(shí)部和虛部:

用另一句話說(shuō)，就是函數(shù) f(z)的成分,

可以理解成變量 x和 y的二元實(shí)函數(shù)。

全純函數(shù)

全純函數(shù)（holomorphic function）是定義在復(fù)平面C的開子集上的，在復(fù)平面C中取值的，在每點(diǎn)上皆復(fù)可微的函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)為全純函數(shù)的充分必要條件是復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部同時(shí)滿足柯西-黎曼方程：

和

通過(guò)上面的這個(gè)方程組也可以由全純函數(shù)的實(shí)部或者虛部之一來(lái)求解另一個(gè)。

柯西積分定理

柯西積分定理指出，如果全純函數(shù)的閉合積分路徑?jīng)]有包括奇點(diǎn)，那么其積分值為0；如果包含奇點(diǎn)，則外部閉合路徑正向積分的值等于包圍這個(gè)奇點(diǎn)的內(nèi)環(huán)上閉合路徑的正向積分值。

柯西積分公式

假設(shè) U 是復(fù)平面C的一個(gè)開子集，f : U → C 是一個(gè)在閉圓盤D上復(fù)可微的方程， 并且閉圓盤 D = { z : | z ? z0| ≤ r} 是U的子集。 設(shè)C 為D 的邊界。則可以推得每個(gè)在D 內(nèi)部的點(diǎn)a:

其中的積分為逆時(shí)針方向沿著C的積分。

亞純函數(shù)

在復(fù)分析中，一個(gè)復(fù)平面的開子集D上的亞純函數(shù)是一個(gè)在D上除一個(gè)或若干個(gè)孤立點(diǎn)集合之外的區(qū)域全純的函數(shù)，那些孤立點(diǎn)稱為該函數(shù)的極點(diǎn)。

復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開

復(fù)函數(shù)的可微性有比實(shí)函數(shù)的可微性更強(qiáng)的性質(zhì)。例如：每一個(gè)正則函數(shù)在其定義域中的每個(gè)開圓盤都可以冪級(jí)數(shù)來(lái)表示：

特別地，全純函數(shù)都是無(wú)限次可微的，性質(zhì)對(duì)實(shí)可微函數(shù)而言普遍不成立。大部分初等函數(shù)（多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）都是全純函數(shù)。常用的方法有泰勒級(jí)數(shù)展開等。

洛朗級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)f(z){\displaystyle f(z)}的洛朗級(jí)數(shù)，是冪級(jí)數(shù)的一種，它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的項(xiàng)，也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng)。有時(shí)無(wú)法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù)，但可以表示為洛朗級(jí)數(shù)。

奇點(diǎn)的情況

對(duì)于復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，有如下三類。

本質(zhì)奇點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)在某孤立奇點(diǎn)鄰域的洛朗級(jí)數(shù)展開，如果存在無(wú)窮個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，那么這個(gè)點(diǎn)稱為“本質(zhì)奇點(diǎn)”。

對(duì)復(fù)平面 C 上的給定的開子集U，以及 U 中的一點(diǎn) a{\displaystyle a}，亞純函數(shù) f : U\{a} → C 在 a{\displaystyle a} 處有本質(zhì)奇點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)它不是極點(diǎn)也不是可去奇點(diǎn)。

極點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)在某孤立奇點(diǎn)鄰域的洛朗級(jí)數(shù)展開，如果存在有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，那么這個(gè)點(diǎn)稱為“極點(diǎn)”。

亞純函數(shù)的極點(diǎn)是一種特殊的奇點(diǎn)，它的表現(xiàn)如同z-a = 0時(shí)1/(z-a)的奇點(diǎn)。這就是說(shuō)，如果當(dāng)z趨于a時(shí)，函數(shù)f(z)趨于無(wú)窮大，那么f(z)在z = a處便具有極點(diǎn)。

可去奇點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)在某孤立奇點(diǎn)鄰域的洛朗級(jí)數(shù)展開，如果沒有負(fù)冪項(xiàng)，那么這個(gè)點(diǎn)稱為“可去奇點(diǎn)”。

如果 U 是復(fù)平面 C 的一個(gè)開集，a 是 U 中一點(diǎn)，f : U - {a} → C 是一個(gè)全純函數(shù)，如果存在一個(gè)在 U - {a} 與 f 相等的全純函數(shù) g : U → C，則 a 稱為 f 的一個(gè)可去奇點(diǎn)。如果這樣的 g 存在，我們說(shuō) f 在 a 是可全純延拓的。

留數(shù)

定義

在復(fù)分析中，留數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)，描述亞純函數(shù)在奇點(diǎn)周圍的路徑積分的表現(xiàn)。

亞純函數(shù)f{\displaystyle f}在孤立奇點(diǎn)a{\displaystyle a}的留數(shù)，通常記為Res(f,a){\displaystyle Res(f,a)}，是使

在圓盤0a|{\displaystyle 0 內(nèi)具有解析原函數(shù)的唯一值R{\displaystyle R}

留數(shù)定理

在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來(lái)計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個(gè)有力的工具，也可以用來(lái)計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

假設(shè)U是復(fù)平面上的一個(gè)單連通開子集，a1、……、an是復(fù)平面上有限個(gè)點(diǎn)，f是定義在U \ {a1、……、an}的全純函數(shù)。如果γ是一條把a(bǔ)1、……、an包圍起來(lái)的可求長(zhǎng)曲線，但不經(jīng)過(guò)任何一個(gè)ak，并且其起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么：

一些難于計(jì)算的實(shí)函數(shù)的積分可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)，然后利用留數(shù)定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

參考書目

（美）布朗 等. 復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用. 機(jī)械工業(yè)出版社. ISBN 978-7-11-115830-1. 

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請(qǐng)告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。