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非線性系統(tǒng)

2020-10-16

出處：族譜網(wǎng)

作者：阿族小譜

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定義在數(shù)學(xué)上，一個(gè)線性函數(shù)（映射）f(x){displaystylef(x)}擁有以下兩個(gè)性質(zhì)：疊加性：f(x+y)=f(x)+f(y){displaystyletextstylef(x+y)=f(x)+f(y)}；齊次：f(αα-->x)=αα-->f(x){displaystyle

定義

在數(shù)學(xué)上，一個(gè)線性函數(shù)（映射） f ( x ) {\displaystyle f(x)} 擁有以下兩個(gè)性質(zhì)：

疊加性： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle \textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y)} ；

齊次： f ( α α --> x ) = α α --> f ( x ) {\displaystyle \textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x)} 。

在 α 是有理數(shù)的情況下，一個(gè)可疊加函數(shù)必定是齊次函數(shù)（在討論線性與否時(shí)，齊次函數(shù)專(zhuān)指一次齊次函數(shù)）；若 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是連續(xù)函數(shù)，則只要 α 是任意實(shí)數(shù)，就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意復(fù)數(shù) α 時(shí)，疊加性便再也無(wú)法導(dǎo)出齊次了。也就是說(shuō)，在復(fù)數(shù)的世界里存在一種反線性映射，它滿足疊加性，但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個(gè)條件常會(huì)被合并在一起，稱(chēng)之為疊加原理：

對(duì)于一個(gè)表示為

的方程，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是一個(gè)線性映射，則稱(chēng)為線性方程，反之則稱(chēng)為非線性方程。另外，如果 C = 0 {\displaystyle C=0} ，則稱(chēng)此方程齊次（齊次在函數(shù)和方程上的定義不同，齊次方程指方程內(nèi)沒(méi)有和 x 無(wú)關(guān)的項(xiàng) C ，即任何項(xiàng)皆和 x 有關(guān)）。

這里 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} 的定義是很一般性的， x {\displaystyle x} 可為任何數(shù)字、矢量、函數(shù)等，而 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可以指任意映射，例如有條件限制（給定初始值或邊界值）的微分或積分運(yùn)算。如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 內(nèi)含有對(duì) x {\displaystyle x} 的微分運(yùn)算，此方程即是一個(gè)微分方程。

非線性代數(shù)方程

代數(shù)方程又稱(chēng)為多項(xiàng)式方程。令某多項(xiàng)式等于零可得一個(gè)多項(xiàng)式方程，例如：

利用勘根法可以找出某個(gè)代數(shù)方程的解；但若是代數(shù)方程組則較為復(fù)雜，有時(shí)候甚至很難確定一個(gè)代數(shù)方程組是否具有復(fù)數(shù)解（見(jiàn)希爾伯特零點(diǎn)定理）。即使如此，對(duì)于一些具有有限個(gè)復(fù)數(shù)解的多項(xiàng)式方程組而言，我們已經(jīng)找到解的方法，并且也已充分了解這種系統(tǒng)的行為。代數(shù)方程組的研究是代數(shù)幾何里重要的一環(huán)，而代數(shù)幾何正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)里的其中一個(gè)分枝。

非線性遞回關(guān)系

若將一個(gè)序列前項(xiàng)和后項(xiàng)之間的關(guān)系定義成某個(gè)非線性映射，則稱(chēng)為非線性遞回關(guān)系，例如單峰映射和侯世達(dá)數(shù)列（英語(yǔ) ： Hofstadter sequence ）。由非線性遞回關(guān)系構(gòu)成的非線性離散模型，在實(shí)際應(yīng)用中包括 NARMAX（Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs，外部輸入非線性自回歸移動(dòng)平均）模型、非線性系統(tǒng)辨識(shí)和分析程序等。這些方法可以用來(lái)分析時(shí)域、頻域和時(shí)空域（spatio-temporal domains）里復(fù)雜的非線。

非線性微分方程

若描述一個(gè)系統(tǒng)的微分方程是非線性的，則稱(chēng)此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。含有非線性微分方程的問(wèn)題，系統(tǒng)彼此間的表現(xiàn)差異極大，而每個(gè)問(wèn)題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程的例子如流體力學(xué)的納維-斯托克斯方程，以及生物學(xué)的洛特卡－沃爾泰拉方程。

解非線性問(wèn)題最大的難處在于找出未知的解：一般來(lái)說(shuō)，我們無(wú)法用已知的解來(lái)拼湊出其他滿足微分方程的未知解；而在線性的系統(tǒng)里，卻可以利用一組線性獨(dú)立的解，透過(guò)疊加原理組合出此系統(tǒng)的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題，其解（時(shí)間的函數(shù)）可以寫(xiě)成許多不同頻率之正弦函數(shù)的線性組合，而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程的特解，但由于此時(shí)疊加原理并不適用，故無(wú)法利用這些特解來(lái)建構(gòu)出其他新的解。

常微分方程

一階常微分方程常?？梢岳梅蛛x變數(shù)法來(lái)解，特別是自守方程

例如

這個(gè)方程的通解為 u = 1 x + C {\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}} ，特解為 u = 0（即通解在 C 趨近于無(wú)限大時(shí)的極限）。此方程是非線性的，因?yàn)樗梢员桓膶?xiě)為

而等號(hào)左邊并不是 u 的線性映射。若把此式的 u 換成 u ，則會(huì)變成線性方程（指數(shù)衰減）。

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無(wú)法表示成解析解，反而較常表為隱函數(shù)或非初等函數(shù)積分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

檢查是否有任何守恒量（特別是在處理哈密頓系統(tǒng)的時(shí)候）。

檢查有沒(méi)有類(lèi)似守恒量的耗散量（見(jiàn)李亞普諾夫函數(shù)）。

利用泰勒展開(kāi)式作線性近似。

利用變數(shù)變換法，改寫(xiě)成較易分析的方程。

分岔理論。

攝動(dòng)法（也可應(yīng)用在代數(shù)方程上）。

偏微分方程

研究非線性偏微分方程最常見(jiàn)也最基礎(chǔ)的方法就是變數(shù)變換，變換以后的方程會(huì)較簡(jiǎn)單，甚至有可能會(huì)變成線性方程。有時(shí)候，變數(shù)變換后的方程可能會(huì)變成一個(gè)或兩個(gè)以上的常微分方程（如同用分離變數(shù)法解偏微分方程），不管這些常微分方程可不可解，都能幫助我們了解這個(gè)系統(tǒng)的行為。

另一個(gè)流體力學(xué)和熱力學(xué)里常用的方法（但數(shù)學(xué)性較低），是利用尺度分析來(lái)簡(jiǎn)化一個(gè)較一般性的方程，使它僅適用在某個(gè)特定的邊界條件上。例如，在描述一個(gè)圓管內(nèi)一維層流的暫態(tài)時(shí)，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡(jiǎn)化成一個(gè)線性偏微分方程；這時(shí)候尺度分析提供了兩個(gè)特定的邊界條件：一維和層流。

其他分析非線性偏微分方程的方法還有特征線法，以及上述分析常微分方程時(shí)常用的方法。

單擺

單擺（v 表示速度矢量；a 表示加速度矢量）

非線性問(wèn)題的一個(gè)典型的例子，就是引力作用之下單擺的運(yùn)動(dòng)。單擺的運(yùn)動(dòng)可由以下的方程來(lái)描述（用拉格朗日力學(xué)可以證明）：

這是一個(gè)非線性且無(wú)量綱的方程， θ θ --> {\displaystyle \theta } 是單擺和它靜止位置所夾的角度，如動(dòng)畫(huà)所示。此方程的一個(gè)解法是將 d θ θ --> d t {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}} 視為積分因子，積分以后得

上述的解是隱解的形式，同時(shí)也包含了橢圓積分。這個(gè)解通常沒(méi)有什么用，因?yàn)榉浅醯群瘮?shù)積分（即使 C 0 = 0 {\displaystyle C_{0}=0} 仍然是非初等函數(shù)）把解的各種特性隱藏了起來(lái)，使我們不易看出單擺系統(tǒng)的行為。

另一個(gè)解法是把這個(gè)非線性方程作線性近似：利用泰勒展開(kāi)式將非線性的 sine 函數(shù)線性化，并在某些特定的點(diǎn)附近討論解的情形。例如，若在 θ θ --> = 0 {\displaystyle \theta =0} 的點(diǎn)附近作線性近似（又稱(chēng)小角度近似）， θ θ --> ≈ ≈ --> 0 {\displaystyle \theta \approx 0} 時(shí)， sin ? ? --> ( θ θ --> ) ≈ ≈ --> θ θ --> {\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta } ，故原方程可以改寫(xiě)為

近似后的方程變成了簡(jiǎn)諧振蕩，因此當(dāng)單擺運(yùn)動(dòng)到底部附近時(shí)，可以對(duì)應(yīng)到一個(gè)簡(jiǎn)諧振子。而若在 θ θ --> = π π --> {\displaystyle \theta =\pi } （即當(dāng)單擺運(yùn)動(dòng)到圓弧的最高點(diǎn)時(shí)）附近作線性近似， sin ? ? --> ( θ θ --> ) = sin ? ? --> ( π π --> ? ? --> θ θ --> ) ≈ ≈ --> π π --> ? ? --> θ θ --> {\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta } ，故原方程可以改寫(xiě)為

這個(gè)方程的解含有雙曲正弦函數(shù)，因此和小角度近似不同，這個(gè)近似是不穩(wěn)定的，也就是說(shuō) | θ θ --> | {\displaystyle |\theta |} 會(huì)無(wú)限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。當(dāng)我們把解對(duì)應(yīng)回單擺系統(tǒng)后，就可以了解為什么單擺在圓弧的最高點(diǎn)時(shí)不能達(dá)到穩(wěn)定平衡，也就是說(shuō)，單擺在最高點(diǎn)時(shí)是不穩(wěn)定的狀態(tài)。

另一個(gè)有趣的線性近似是在 θ θ --> = π π --> 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} 附近，此時(shí) sin ? ? --> ( θ θ --> ) ≈ ≈ --> 1 {\displaystyle \sin(\theta )\approx 1} ，故原方程可以改寫(xiě)為

這個(gè)近似后的方程可以對(duì)應(yīng)到自由落體。

若把以上線性近似的結(jié)果合在一起看，就能大致了解單擺的運(yùn)動(dòng)情形。利用其他解非線性微分方程的方法，可以進(jìn)一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的周期。

非線性表現(xiàn)（列舉）

經(jīng)典混沌（和量子混沌相對(duì)）—— 指系統(tǒng)里無(wú)法預(yù)測(cè)的行為。

多穩(wěn)態(tài)—— 指系統(tǒng)在兩個(gè)或多個(gè)互斥的狀態(tài)之間切換。

非周期振蕩 —— 指一個(gè)函數(shù)在任何周期上都不會(huì)固定重復(fù)其函數(shù)值（也稱(chēng)作混沌振蕩）。

振幅死亡（英語(yǔ) ： Amplitude death ） —— 指系統(tǒng)內(nèi)的某振蕩因系統(tǒng)的自回饋或受其他系統(tǒng)影響而停止的現(xiàn)象。

孤波—— 指行進(jìn)中能自我增強(qiáng)而不消散的孤立波。

非線性方程（列舉）

交流電潮流模型（英語(yǔ) ： AC power flow model ）

代數(shù)黎卡提方程（英語(yǔ) ： Algebraic Riccati equation ）

球桿系統(tǒng) （英語(yǔ) ： Ball and beam system ）