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定義

Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的線性微分算子L{\displaystyle L}

Lu=∑ ∑ -->|α α -->|≤ ≤ -->maα α -->? ? -->α α -->u{\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}

被稱為橢圓算子，如果對任意x∈ ∈ -->Ω Ω -->{\displaystyle x\in \Omega }，任意非零ξ ξ -->∈ ∈ -->Rn{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}滿足

∑ ∑ -->|α α -->|=maα α -->ξ ξ -->α α -->≠ ≠ -->0{\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}。

在許多應(yīng)用中僅滿足上述條件還遠遠不夠，當(dāng)m=2k{\displaystyle m=2k}時可用一致橢圓條件代替它： (? ? -->1)k∑ ∑ -->|α α -->|=2kaα α -->(x)ξ ξ -->α α -->>C|ξ ξ -->|2k,{\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},} 其中C是正常數(shù)。注意到橢圓性只依賴于最高階項。

非線性算子

L(u)=F(x,u,(? ? -->α α -->u))|α α -->|≤ ≤ -->2k{\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}

是橢圓算子如果它關(guān)于u{\displaystyle u}的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。

實例：二階算子

為了說明問題，我們選取二階偏微分算子形式，

其中Dk=1? ? -->1? ? -->xk{\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}.如果滿足高階項系數(shù)矩陣x

為正定實系數(shù)對稱矩陣，則這樣的算子叫做橢圓算子。

參看

拋物偏微分方程

外爾引理

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