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線性系統(tǒng)的特性

若將一決定性系統(tǒng)視為黑箱系統(tǒng)，可以用一個將輸入 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 映射到輸出 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 的運算子 H {\displaystyle H} 來表示。一線性系統(tǒng)的運算子滿足疊加原理及齊次性（homogeneity）。假設(shè)有以下二個輸入

及其對應(yīng)的輸出

則線性系統(tǒng)會滿足以下的特性

其中 α α --> {\displaystyle \alpha \,} 及 β β --> {\displaystyle \beta \,} 為任意標(biāo)量。

因此，若線性系統(tǒng)有一個復(fù)雜的輸入，可將輸入分解為許多較簡單輸入的和，針對簡單輸入個別計算輸出，其輸出相加，就是系統(tǒng)對應(yīng)復(fù)雜輸入的輸出。這是非線性系統(tǒng)沒有的特性，上述的數(shù)學(xué)特性也使得線性系統(tǒng)的解比非線性系統(tǒng)的解要來的簡單許多。

對于線性時不變系統(tǒng)，疊加原理也是脈沖響應(yīng)或頻率響應(yīng)等分析方式的基礎(chǔ)。若是連續(xù)、線性時不變系統(tǒng)的微分方程，可以利用拉普拉斯轉(zhuǎn)換來求解；而離散系統(tǒng)中，可以利用Z轉(zhuǎn)換來求解。

線性模式常在非線性系統(tǒng)的線性化時使用，以便于后續(xù)的數(shù)算或處理。

時變脈沖響應(yīng)

一線性系統(tǒng)的時變脈沖響應(yīng)h(t2,t1)定義為系統(tǒng)對于在t = t1 時間的單一脈沖，在t = t2 時間的響應(yīng)。若系統(tǒng)的輸入為

其中 δ(t) 表示狄拉克δ函數(shù)，而其對應(yīng)的系統(tǒng)輸出為

則函數(shù)h(t2,t1)則為系統(tǒng)的時變脈沖響應(yīng)。

時變卷積

連續(xù)時間系統(tǒng)

任何連續(xù)時間系統(tǒng)的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈沖響應(yīng)的時變卷積（convolution integral）：

也可以用以下的式子表示：

其中

表示輸入的時間s和響應(yīng)的時間t之間的時間差。

離散時間系統(tǒng)

任何離散時間系統(tǒng)的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈沖響應(yīng)的時變卷和（convolution sum）：

也可以用以下的式子表示：

其中

表示輸入的時間k和響應(yīng)的時間n之間的時間差。

因果性

一個線性系統(tǒng)滿足因果性是指滿足以下特性的系統(tǒng)：只要時間t在輸入時間s之前，其脈脈沖響應(yīng) h ( t , s ) {\displaystyle h(t,s)} 均為零，也就是以下的式子一定會成立：

表示在時間s時的脈沖其響應(yīng)只會在時間s之后出現(xiàn)，在時間s之前脈沖響應(yīng)為零。

一個滿足因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。在因果系統(tǒng)中，時間s時的輸入信號只會影響時間s之后的輸出信號，不會影響時間s之前的輸出信號。

參照

代數(shù)幾何中的Linear system of divisors

線性時不變系統(tǒng)理論

系統(tǒng)分析

線性方程組

非線性系統(tǒng)

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