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證明

設(shè)

函數(shù)g(z)在D{\displaystyle \mathbb {D} }內(nèi)（除了0以外）全純，由于f(0) = 0且f是全純函數(shù)。設(shè)Dr為D內(nèi)一個(gè)半徑為r的閉圓盤。根據(jù)最大模原理，有：

對(duì)于所有Dr內(nèi)的z和所有Dr的邊界上的zr。當(dāng)r趨于1時(shí)，我們便有|g(z)| ≤ 1。

而且，如果在D{\displaystyle \mathbb {D} }內(nèi)存在某個(gè)不為0的z0，使得g(z0) = 1，那么把最大模原理應(yīng)用于g，可得g是常數(shù)，因此f(z) = kz，其中k是常數(shù)且|k| = 1。這在當(dāng)|f "(0)| = 1時(shí)也是正確的。

施瓦茨—皮克定理

施瓦茨引理有一個(gè)版本是在單位圓盤的解析自同構(gòu)（即單位圓盤的全純雙射）下不變。這稱為施瓦茨-皮克定理。

設(shè)f:D→ → -->D{\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} } 全純。那么，對(duì)所有z1,z2∈ ∈ -->D{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }，

還有，對(duì)z∈ ∈ -->D{\displaystyle z\in \mathbb {D} }，

以下表達(dá)式

是龐加萊度量中兩點(diǎn)z1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}的距離。龐加萊度量就是二維雙曲幾何的龐加萊圓盤模型的度量。這定理的要點(diǎn)是把單位圓盤映射到自己的全純函數(shù)減少各點(diǎn)間的龐加萊度量下的距離。若上兩不等式有一式的等號(hào)成立，就是說(shuō)全純映射保持龐加萊度量下的距離，那么f一定是單位圓盤的解析自同構(gòu)，由把圓盤映射到自己的莫比烏斯變換映射所給出。

一個(gè)對(duì)上半平面H{\displaystyle \mathbb {H} }的相似的命題可記如下：

設(shè)f:H→ → -->H{\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }全純。那么，對(duì)所有z1,z2∈ ∈ -->H{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }，

還有，對(duì)所有z∈ ∈ -->H{\displaystyle z\in \mathbb {H} }

若集中一式等號(hào)成立，那么f必是實(shí)系數(shù)的麥比烏斯轉(zhuǎn)換，也就是說(shuō)若等號(hào)成立則有

其中a,b,c,d{\displaystyle a,b,c,d}是實(shí)數(shù)，及ad? ? -->bc>0{\displaystyle ad-bc>0}。

深入發(fā)展

施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理給出對(duì)雙曲流形的類似結(jié)果。

路易·德布朗熱定理是一個(gè)重要推廣。

參考

Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3)

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