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定義

拓撲空間X，A，B?X，稱B是A的 鄰域 ，當且僅當以下條件之一成立：

存在開集C，使得A?C?B。

A?B 。（B 是B的內(nèi)部）

注意：某些作者要求鄰域是開集，所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。

如果 S 是 X 的子集， S 的 鄰域 是集合 V ，它包含了包含 S 的開集 U ?？傻贸黾?V 是 S 的鄰域，當且僅當它是在 S 中的所有點的鄰域。

鄰域的度量空間定義

平面上的集合 S 和 S 的一致鄰域 V 。

在度量空間 M = ( X , d )中，集合 V 是點 p 的 鄰域 ，如果存在以 p 為中心和半徑為 r 的開球，

它被包含在 V 中。

一致鄰域

V 叫做集合 S 的 一致鄰域 （uniform neighborhood），如果存在正數(shù) r 使得對于 S 的所有元素 p ，

被包含在 V 中。

對于 r >0集合 S 的 r -鄰域 S r {\displaystyle S_{r}} 是 X 中與 S 的距離小于 r 的所有點的集合(或等價的說 S r {\displaystyle S_{r}} 是以 S 中一個點為中心半徑為 r 的所有開球的并集)。

可直接得出 r -鄰域是一致鄰域，并且一個集合是一致鄰域當且僅當它包含對某個 r 值的 r -鄰域。 參見一致空間。

非一致鄰域的例子

給定實數(shù)集合 R 帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集 V

則 V 是自然數(shù)集合 N 的鄰域，但它不是這個集合的均勻鄰域，因為 r = 1 n {\displaystyle r={\frac {1}{n}}} 并不是一個固定值。

基于鄰域的拓撲

上述定義適用于開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲，也就是先定義鄰域系統(tǒng)，再定義開集：若集中每個點皆有一個鄰域被包含于集中，則為開集。

在 X 上的鄰域系統(tǒng)是濾子 N(x) (在集合 X 上)到每個 X 中的 x 的指派，使得

點 x 是每個 N(x) 中的 U 的元素，

每個 N(x) 中的 U 包含某個 N(x) 中的 V 使得對于每個 V 中的 y 有著 U 在 N(y) 中。

可以證明這兩個定義是兼容的，就是說從使用開集定義的鄰域系統(tǒng)獲得的拓撲就是最初的拓撲，反之從鄰域系統(tǒng)出發(fā)亦然。

引用

Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.

Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.

Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.

參見

局部基

第一可數(shù)空間

管狀鄰域

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