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說(shuō)明

邊值問(wèn)題類似初值問(wèn)題，邊值問(wèn)題的條件是在區(qū)域的邊界上，而初值問(wèn)題的條件都是在獨(dú)立變數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在某一特定值時(shí)的數(shù)值（一般是定義域的下限，所以稱為初值問(wèn)題）。

例如獨(dú)立變數(shù)是時(shí)間，定義域?yàn)閇0,1]，邊值問(wèn)題的條件會(huì)是 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 在 t = 0 {\displaystyle t=0} 及 t = 1 {\displaystyle t=1} 時(shí)的數(shù)值，而初值問(wèn)題的條件會(huì)是 t = 0 {\displaystyle t=0} 時(shí)的 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 及 y ′ ( t ) {\displaystyle y"(t)} 之值。

若鐵棒的一端為絕對(duì)零度，另一端溫度為水的凝固點(diǎn)，要找到鐵棒溫度隨位置的變化即為一個(gè)邊值問(wèn)題。

若問(wèn)題和時(shí)間和空間都有關(guān)，邊界條件需為某一個(gè)特定點(diǎn)下所有時(shí)間對(duì)應(yīng)的值，以及某一個(gè)特定時(shí)間時(shí)所有位置對(duì)應(yīng)的值。

以下是一個(gè)邊值問(wèn)題的例子

要求解滿足以下邊界條件的函數(shù) y ( x ) {\displaystyle y(x)}

若沒(méi)有邊界條件，以上微分方程的通解是

根據(jù)邊界條件 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} ，可得

可以得到 B = 0 {\displaystyle B=0} 的結(jié)論。根據(jù)邊界條件 y ( π π --> / 2 ) = 2 {\displaystyle y(\pi /2)=2} ，可得

因此 A = 2 {\displaystyle A=2} 。因此可以找到滿足上述邊界條件的唯一解，即為

邊值問(wèn)題的種類

一個(gè)二維熱傳的邊值問(wèn)題

根據(jù)條件的形式，邊值條件分以下三類：

第一類邊值條件：也稱為狄利克雷邊界條件，直接描述物理系統(tǒng)邊界上的物理量，例如振動(dòng)的弦兩端與平衡位置的距離；

第二類邊值條件：也稱為諾伊曼邊界條件，描述物理系統(tǒng)邊界上物理量垂直邊界的導(dǎo)數(shù)的情況，例如導(dǎo)熱細(xì)桿端點(diǎn)的熱流；

第三類邊值條件：物理系統(tǒng)邊界上物理量與垂直邊界導(dǎo)數(shù)的線性組合，例如，細(xì)桿端點(diǎn)的自由冷卻，溫度、熱流均不確定，但是二者的關(guān)系確定，即可列出二者線性組合而成的邊值條件。

邊值條件也可以根據(jù)邊值問(wèn)題對(duì)應(yīng)的微分算子來(lái)分類：若是使用橢圓算子，則問(wèn)題為橢圓邊值問(wèn)題；使用雙曲線算子，則問(wèn)題為雙曲線邊值問(wèn)題。依微分算子還可以將問(wèn)題再細(xì)分為線性及非線性等。

外表鏈接

參見(jiàn)

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