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各種相關(guān)系數(shù)

對于不同測量尺度的變數(shù)，有不同的相關(guān)系數(shù)可用：

Pearson相關(guān)系數(shù)（Pearson"s r ）：衡量兩個等距尺度或等比尺度變數(shù)之相關(guān)性。是最常見的，也是學習統(tǒng)計學時第一個接觸的相關(guān)系數(shù)。

凈相關(guān)（ 英語： partial correlation ）：在模型中有多個自變數(shù)（或解釋變數(shù)）時，去除掉其他自變數(shù)的影響，只衡量特定一個自變數(shù)與因變數(shù)之間的相關(guān)性。自變數(shù)和因變數(shù)皆為連續(xù)變數(shù)。

相關(guān)比（ 英語： correlation ratio ）：衡量兩個連續(xù)變數(shù)之相關(guān)性。

Gamma相關(guān)系數(shù)：衡量兩個次序尺度變數(shù)之相關(guān)性。

Spearman等級相關(guān)系數(shù)：衡量兩個次序尺度變數(shù)之相關(guān)性。

Kendall等級相關(guān)系數(shù)（ 英語： Kendall tau rank correlation coefficient ）：衡量兩個人為次序尺度變數(shù)（原始資料為等距尺度）之相關(guān)性。

Kendall和諧系數(shù)：衡量兩個次序尺度變數(shù)之相關(guān)性。

Phi相關(guān)系數(shù)（ 英語： Phi coefficient ）：衡量兩個真正名目尺度的二分變數(shù)之相關(guān)性。

列聯(lián)相關(guān)系數(shù)（ 英語： contingency coefficient ）：衡量兩個真正名目尺度變數(shù)之相關(guān)性。

四分相關(guān)（ 英語： tetrachoric correlation ）：衡量兩個人為名目尺度（原始資料為等距尺度）的二分變數(shù)之相關(guān)性。

Kappa一致性系數(shù)（ 英語： K coefficient of agreement ）：衡量兩個名目尺度變數(shù)之相關(guān)性。

點二系列相關(guān)系數(shù)（ 英語： point-biserial correlation ）：X變數(shù)是真正名目尺度二分變數(shù)。Y變數(shù)是連續(xù)變數(shù)。

二系列相關(guān)系數(shù)（ 英語： biserial correlation ）：X變數(shù)是人為名目尺度二分變數(shù)。Y變數(shù)是連續(xù)變數(shù)。

皮爾遜積差系數(shù)（Pearson"s product moment coefficient）

數(shù)學特征

其中， E 是數(shù)學期望，cov表示協(xié)方差， σ σ --> X {\displaystyle \sigma _{X}} 和 σ σ --> Y {\displaystyle \sigma _{標準差 是標準差。

因為 μ μ --> X = E ( X ) {\displaystyle \mu _{X}=E(X)} ， σ σ --> X 2 = E ( X 2 ) ? ? --> E 2 ( X ) {\displaystyle \sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)} ，同樣地，對于 Y {\displaystyle Y} ，可以寫成

當兩個變量的標準差都不為零，相關(guān)系數(shù)才有定義。從柯西-施瓦茨不等式可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1。當兩個變量的線性關(guān)系增強時，相關(guān)系數(shù)趨于1或-1。當一個變量增加而另一變量也增加時，相關(guān)系數(shù)大于0。當一個變量的增加而另一變量減少時，相關(guān)系數(shù)小于0。當兩個變量獨立時，相關(guān)系數(shù)為0，但反之并不成立。這是因為相關(guān)系數(shù)僅僅反映了兩個變量之間是否線性相關(guān)。比如說， X 是區(qū)間［－1，1］上的一個均勻分布的隨機變量。 Y = X .那么 Y 是完全由 X 確定。因此 Y 和 X 是不獨立的。但是相關(guān)系數(shù)為0?；蛘哒f他們是不相關(guān)的。當 Y 和 X 服從聯(lián)合正態(tài)分布時，其相互獨立和不相關(guān)是等價的。

當一個或兩個變量帶有測量誤差時，他們的相關(guān)性就受到削弱，這時，“反衰減”性（disattenuation）是一個更準確的系數(shù)。

幾何特征

對于居中的數(shù)據(jù)來說（何謂居中？也就是每個數(shù)據(jù)減去樣本均值，居中后它們的平均值就為0），相關(guān)系數(shù)可以看作是兩個隨機變量中得到的樣本集向量之間夾角的cosine函數(shù)。一些實際工作者更喜歡用非居中的相關(guān)系數(shù)（與Pearson系數(shù)不相兼容）?？聪旅娴睦又杏幸粋€比較。例如，假設(shè)五個國家的國民生產(chǎn)總值分別是1、2、3、5、8（單位10億美元），又假設(shè)這五個國家的貧困比例分別是11%、12%、13%、15%、18%。則我們現(xiàn)在有兩個有序的包含5個元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法來計算向量間夾角（參考數(shù)量積），未居中的相關(guān)性系數(shù)如下：

上面的數(shù)據(jù)實際上是故意選擇了一個完美的線性關(guān)系：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮爾遜相關(guān)系數(shù)應(yīng)該就是1。把數(shù)據(jù)居中（x中數(shù)據(jù)減去E (x) = 3.8，y中數(shù)據(jù)減去E (y) = 0.138）后得到：x =（?2.8, ?1.8, ?0.8, 1.2, 4.2）、y =（?0.028, ?0.018, ?0.008, 0.012, 0.042），由此得到了預期結(jié)果：

統(tǒng)計學上的相關(guān)

相關(guān)系數(shù)的計算過程可表示為：將每個變量都轉(zhuǎn)化為標準單位，乘積的平均數(shù)即為相關(guān)系數(shù) 。

兩個變量的關(guān)系可以直觀地用散點圖表示，當其緊密地群聚于一條直線的周圍時，變量間存在強相關(guān) 。

一個散點圖可以用五個統(tǒng)計量來概括。所有x值得平均數(shù)，所有x值的SD，所有y值得平均數(shù)，所有y值的SD，相關(guān)系數(shù)r.

將第一個變量記為x ,第二個變量記為y ,相關(guān)系數(shù)為r，則可以通過以下公式：

r = [（以標準單位表示的x）X（以標準單位表示的y）]的平均數(shù)

參見

相關(guān)不蘊涵因果

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