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標(biāo)準(zhǔn)基底

閔可夫斯基空間的一組常用標(biāo)準(zhǔn)基底是四個互相正交的矢量的集合( e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) 使得

這些條件可以更簡要地寫成如下形式：

其中μ與ν涵蓋的數(shù)值有{0, 1, 2, 3}，矩陣η稱為 閔可夫斯基度規(guī) ，數(shù)值為

相對于一組標(biāo)準(zhǔn)基底，一矢量 V {\displaystyle V} 的分量可以寫作 ( V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ) {\displaystyle (V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})} ，并且我們使用愛因斯坦標(biāo)記來寫 V = V μ μ --> e μ μ --> {\displaystyle V=V^{\mu }e_{\mu }\,} 。分量 V 0 {\displaystyle V^{0}} 稱作 V {\displaystyle V} 的“ 類時分量 ”( timelike component )，而其他三個分量則稱作“ 類空分量 ”( spatial components )。

以分量來寫，兩個矢量 V {\displaystyle V} 與 W {\displaystyle W} 間的內(nèi)積可寫成

而一矢量 V {\displaystyle V} 的范數(shù)(norm)平方值為

因果結(jié)構(gòu)

四維矢量依據(jù)它們（閔可夫斯基）內(nèi)積的正負(fù)號來區(qū)分。四維矢量 U {\displaystyle U} 、 V {\displaystyle V} 與 W {\displaystyle W} 可分類如下：

V {\displaystyle V} 是 類時 ( timelike )，當(dāng)且僅當(dāng) η η --> μ μ --> ν ν --> V μ μ --> V ν ν --> = V μ μ --> V μ μ --> < 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0}

U {\displaystyle U} 是 類空 ( spacelike )，當(dāng)且僅當(dāng) η η --> μ μ --> ν ν --> U μ μ --> U ν ν --> = U μ μ --> U μ μ --> > 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0}

W {\displaystyle W} 是 零 ( null )或稱 類光 ( lightlike )，當(dāng)且僅當(dāng) η η --> μ μ --> ν ν --> W μ μ --> W ν ν --> = W μ μ --> W μ μ --> = 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0}

這樣的術(shù)語源自于相對論中對于閔可夫斯基空間的使用。閔可夫斯基空間中一事件所有零矢量的集合構(gòu)成了該事件的光錐(light cone)。注意到這些標(biāo)記的使用與參考系無關(guān)。

矢量場被稱作是類時、類空或零，是看場定義所在的各點(diǎn)，其所對應(yīng)的矢量是類時、類空或零。

關(guān)于零矢量一個有用的結(jié)果：“若兩個零矢量 A {\displaystyle A\,} 、 B {\displaystyle B\,} 正交（即：零內(nèi)積值 A ? ? --> B = A μ μ --> B μ μ --> = 0 {\displaystyle A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0} ），則它們必定是呈比例關(guān)系 A = k B {\displaystyle A=kB\,} （ k {\displaystyle k\,} 為常數(shù)）?！?

一旦時間方向選定了，類時矢量與零矢量可以再分為各種類別。以類時矢量(timelike vector)來說，我們有

未來方向 ( future directed ) 類時矢量 ，其第一個分量為正。

過去方向 ( past directed ) 類時矢量 ，其第一個分量為負(fù)。

以零矢量(null vector)來說，可分為三種類別：

純零矢量 ( zero vector ) ，其在任何基底下，所有分量皆為 (0,0,0,0) 。

未來方向零矢量 ，其第一個分量為正，而其余分量為0。

過去方向零矢量 ，其第一個分量為負(fù)，而其余分量為0。

加上類空矢量，全部共有六種類別。

閔可夫斯基空間中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位矢量。若希望以非正交歸一基底來做運(yùn)算，則可有其他的矢量組合。例如：可以輕松建構(gòu)一種（非正交歸一）基底，整個是由零矢量所組成，稱之為“ 零基底 ”( null basis )。

相關(guān)條目

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雙曲空間

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參考文獻(xiàn)

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Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .

Walter, Scott.Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. (編) Goenner, Hubert et al. (ed.). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkh?user. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6.

外部鏈接

維基共享資源中有關(guān)閔可夫斯基空間的多媒體資源

YouTube上的Animation clipvisualizing Minkowski space in the context of special relativity.

The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone

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