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對直線進(jìn)行描述

在解析幾何中用直線方程式對直線進(jìn)行描述，最直接的是X軸或Y軸，又有平行于X軸或Y軸的，如X＝2或Y＝2。

平面的直線方程式一定用二元一次方程式表示，類型包括：

點(diǎn)斜式： y ? ? --> y 0 = m ( x ? ? --> x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=m\,(x-x_{0})}

斜截式： y = k x + b {\displaystyle \,y=kx+b}

二點(diǎn)式： y ? ? --> y 0 y 1 ? ? --> y 0 = x ? ? --> x 0 x 1 ? ? --> x 0 {\displaystyle {y-y_{0} \over y_{1}-y_{0}}={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}}

截距式： x a + y b = 1 {\displaystyle {x \over a}+{y \over b}=1}

參數(shù)式： x = f ( t ) y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t)\;y=g(t)}

一般式： A x + B y + C = 0 {\displaystyle \,Ax+By+C=0}

向量式： p = a t + b {\displaystyle \,p=at+b} ；點(diǎn) P ( x , y ) {\displaystyle \,P(x,y)} ，向量 a → → --> ( x 0 , y 0 ) , b → → --> ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}(x_{0},y_{0}),{\vec }(x_{1},y_{1})}

在三維立體中

向量式： p = a t + b {\displaystyle p\,=at+b} ；點(diǎn) P ( x , y , z ) {\displaystyle \,P(x,y,z)} ，向量 a → → --> ( x 0 , y 0 , z 0 ) , b → → --> ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\vec }(x_{1},y_{1},z_{1})}

一般形式： a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 {\displaystyle a_{1}\,x+b_{1}\,y+c_{1}\,z=d_{1}\qquad a_{2}\,x+b_{2}\,y+c_{2}\,z=d_{2}}

點(diǎn) P ( x p , y p ) {\displaystyle P(x_{p},y_{p})} 到直線的最短距離

平面點(diǎn) P ( x p , y p ) {\displaystyle \,P(x_{p},y_{p})} ，直線 y = k x + b {\displaystyle \,y=kx+b} 垂直線 y ? ? --> y p = ? ? --> 1 k ( x ? ? --> x p ) {\displaystyle y-y_{p}=-{1 \over k}(x-x_{p})}

三維立體點(diǎn) P ( x p , y p , z p ) {\displaystyle \,P(x_{p},y_{p},z_{p})} ，直線 a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 {\displaystyle a_{1}\,x+b_{1}\,y+c_{1}\,z=d_{1}\qquad a_{2}\,x+b_{2}\,y+c_{2}\,z=d_{2}}

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

點(diǎn) ( a , b ) {\displaystyle \ (a,b)} 關(guān)于直線 A x + B y + C = 0 {\displaystyle \,Ax+By+C=0} 對稱的

( a ? ? --> 2 A ? ? --> A a + B b + C A 2 + B 2 , b ? ? --> 2 B ? ? --> A a + B b + C A 2 + B 2 ) {\displaystyle \,\left(a-2A\cdot {\frac {Aa+Bb+C}{A^{2}+B^{2}}},b-2B\cdot {\frac {Aa+Bb+C}{A^{2}+B^{2}}}\right)}

兩條直線的夾角

直線 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 {\displaystyle \,A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0} 與直線 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 {\displaystyle \,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0} 的夾角 θ θ --> {\displaystyle \theta } （ 0 ° ° --> ≤ ≤ --> θ θ --> {\displaystyle \,0^{\circ }\leq \theta <90^{\circ }} ）為:

θ θ --> = arctan ? ? --> ∣ ∣ --> A 2 B 1 ? ? --> A 1 B 2 ∣ ∣ --> A 1 A 2 + B 1 B 2 {\displaystyle \,\theta =\arctan {\frac {\mid A_{2}B_{1}-A_{1}B_{2}\mid }{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}}

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