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簡單介紹

希爾伯特空間以大衛(wèi)·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關(guān)于無界自伴算子的著作中 ，最早使用了“希爾伯特空間”這個(gè)名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認(rèn)識到希爾伯特空間的重要性的數(shù)學(xué)家之一，他在進(jìn)行對量子力學(xué)的基礎(chǔ)性和創(chuàng)造性地研究的時(shí)候認(rèn)識到了這一點(diǎn)。此項(xiàng)研究由馮·諾伊曼與希爾伯特 和朗道展開，隨后由尤金·維格納（ Eugene Wigner ）繼續(xù)深入?！跋柌乜臻g”這個(gè)名字迅速被其他科學(xué)家所接受，例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學(xué)的理論》 （ The Theory of Groups and Quantum Mechanics ）中就使用了這一名詞。

一個(gè)抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實(shí)際應(yīng)用中，它可能代表了一列復(fù)數(shù)或是一個(gè)函數(shù)。例如在量子力學(xué)中，一個(gè)物理系統(tǒng)可以表示為一個(gè)復(fù)希爾伯特空間，其中的向量是描述系統(tǒng)可能狀態(tài)的波函數(shù)。詳細(xì)的資料可以參考量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述相關(guān)的內(nèi)容。量子力學(xué)中由平面波和束縛態(tài)所構(gòu)成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged Hilbert space）。

定義

在一個(gè)復(fù)數(shù)向量空間 H {\displaystyle H} 上的給定的內(nèi)積 {\displaystyle } 可以按照如下的方式導(dǎo)出一個(gè)范數(shù)（norm） ∥ ∥ --> . ∥ ∥ --> {\displaystyle \Vert .\Vert } ：

此空間稱為是一個(gè)希爾伯特空間，如果其對于這個(gè)范數(shù)來說是完備的。這里的完備性是指，任何一個(gè)柯西列都收斂到此空間中的某個(gè)元素，即它們與某個(gè)元素的范數(shù)差的極限為 0 {\displaystyle 0} 。任何一個(gè)希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。

任何 有限維內(nèi)積空間（如歐幾里得空間及其上的點(diǎn)積）都是希爾伯特空間 。但從實(shí)際應(yīng)用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價(jià)值，例如

酉群（unitary group）的表示論。

平方可積的隨機(jī)過程理論。

偏微分方程的希爾伯特空間理論，特別是狄利克雷問題。

函數(shù)的譜分析及小波理論。

量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述。

內(nèi)積可以幫助人們從“幾何的”觀點(diǎn)來研究希爾伯特空間，并使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓?fù)湎蛄靠臻g中，希爾伯特空間性質(zhì)最好，也最接近有限維空間的情形。

傅立葉分析的一個(gè)重要目的是將一個(gè)給定的函數(shù)表示成一族給定的基底函數(shù)的和（可能是無窮和）。這個(gè)問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個(gè)希爾伯特空間都有一族標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且每個(gè)希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數(shù)的和。

常見的例子

在以下例子中，假設(shè)所有的希爾伯特空間都是復(fù)數(shù)，盡管實(shí)際應(yīng)用中大多是實(shí)數(shù)。

歐幾里得空間

C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 及其上的內(nèi)積

構(gòu)成了一個(gè)希爾伯特空間，其中短橫線表示一個(gè)復(fù)數(shù)的復(fù)共軛。

序列空間

更一般的希爾伯特空間都是無窮維的，假設(shè) B {\displaystyle B} 是一個(gè)任意集合，可以定義其上的 ? ? --> 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 序列空間，記為

此空間在定義如下內(nèi)積后，成為一個(gè)希爾伯特空間：

其中 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是 ? ? --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 中的任意元素。在這個(gè)定義中， B {\displaystyle B} 并非一定要是可數(shù)的，在 B {\displaystyle B} 不可數(shù)之情形下， ? ? --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 不是可分（separable）的。在下面更具體的例子中，所有的希爾伯特空間在選定適當(dāng)?shù)?B {\displaystyle B} 的情況下，都可以表示成為 ? ? --> 2 ( B ) {\displaystyle \ell ^{2}(B)} 的一個(gè)同構(gòu)空間。特別地，當(dāng) B = ( N ) {\displaystyle B=\mathbb {(} N)} 的時(shí)候，可以將其簡單記為 ? ? --> 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 。

勒貝格空間

勒貝格空間( 這里指 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 空間 )是指定義在測度空間 ( X , M , μ μ --> ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )} 上的函數(shù)空間，其中 X {\displaystyle X} 代表函數(shù)的定義域， M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的元素是 X {\displaystyle X} 上的子集合，為 一個(gè) σ σ --> {\displaystyle \sigma } 代數(shù)，一般把 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 稱作可測空間(measurable space)，而 μ μ --> {\displaystyle \mu } 是 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上的測度。

更仔細(xì)的說， L 2 ( X , μ μ --> ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} ( 簡寫做 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} ) 表示 X {\displaystyle X} 上所有平方可積（square-integrable）的復(fù)數(shù)值的可測函數(shù)的集合。平方可積表示該絕對值絕對值的積分的積分是有限的。要注意的是在 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 空間里，對于幾乎處處( almost everywhere )相同的函數(shù)，也就是說如果兩函數(shù)只測度個(gè)測度為0的集合上不相等，我們把這兩函數(shù)當(dāng)做在 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} 中相同的元素。

此時(shí)兩個(gè)函數(shù) f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 的內(nèi)積定義為

因?yàn)?f , g ∈ ∈ --> L 2 ( X ) {\displaystyle f,g\in L^{2}(X)} ，所以這內(nèi)積的定義沒有問題。

但需要證明的是：

此空間在此內(nèi)積下是完備的。

這個(gè)證明可以在相關(guān)的書籍中找到，與此例相關(guān)的內(nèi)容可以參看關(guān)于 L p {\displaystyle L^{p}} 空間的著作。

索伯列夫空間

索伯列夫空間一般表示為 H s {\displaystyle H^{s}} 或者 W s , 2 {\displaystyle W^{s,2}} 是希爾伯特空間的另一個(gè)重要實(shí)例，它多被應(yīng)用于偏微分方程的研究。

希爾伯特空間的相互作用

給定任意兩個(gè)（或更多）希爾伯特空間，利用直和或張量積的方式，可以給出一個(gè)更大的希爾伯特空間。

希爾伯特空間的基

希爾伯特空間的一個(gè)中間概念是標(biāo)準(zhǔn)正交基，即其上的一族函數(shù) { e k } k ∈ ∈ --> B {\displaystyle \{e_{k}\}_{k\in B}} 滿足：

所有元素都是單位化的：即對于任意 x {\displaystyle x} ， ∥ ∥ --> e k ∥ ∥ --> = 1 {\displaystyle \Vert e_{k}\Vert =1} ， ? ? --> k ∈ ∈ --> B {\displaystyle \forall k\in B} 。

所有元素彼此正交：若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是這族基中的不同元素，那么 = 0 {\displaystyle =0} 。

其線性擴(kuò)張稠密：即其中的所有元素的有限的線性組合是 H {\displaystyle H} 的一個(gè)稠密子集。

有時(shí)也使用 標(biāo)準(zhǔn)正交列 或 標(biāo)準(zhǔn)正交集 指代。

標(biāo)準(zhǔn)正交基的一些實(shí)例：

集合（ { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } {\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}} ）

請參見

完備的度量空間或完備的距離空間

完備的賦范空間

n維歐幾里得空間

注解和引用

Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis , Academic Press, 1960.

B.M. Levitan,Hilbert space, (編) Hazewinkel, Michiel,數(shù)學(xué)百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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