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狄拉克的最初推導(dǎo)

狄拉克所希望建立的是一個同時具有洛倫茲協(xié)變性和薛定諤方程形式的波方程，并且這個方程需要確保所導(dǎo)出的概率密度為正值，而不是像克萊因-戈爾登方程那樣存在缺乏物理意義的負值。

考慮無場勢自由粒子的薛定諤方程：

薛定諤方程采用的時間項為一階導(dǎo)數(shù)，而空間項為二階導(dǎo)數(shù)，因此不具有洛倫茲協(xié)變性。若要符合洛倫茲協(xié)變性，很自然地需建構(gòu)一具有空間項一階導(dǎo)數(shù)的哈密頓量。

而動量算符恰好是空間一階導(dǎo)數(shù)。將動量算符

代入式子中，從而得到

亦可以矢量符號寫為：

其中的系數(shù) α α --> i {\displaystyle \alpha _{i}} 和 β β --> {\displaystyle \beta } 不能是簡單的常數(shù)，否則即使對于簡單的空間旋轉(zhuǎn)變換，這個方程也不是洛倫茲協(xié)變的。因此狄拉克假設(shè)這些系數(shù)都是N×N階矩陣以滿足洛倫茲協(xié)變性。如果系數(shù) α α --> i {\displaystyle \alpha _{i}} 是矩陣，那么波函數(shù) ψ ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} 也不能是簡單的標量場，而只能是N×1階列矢量

狄拉克把這些列矢量叫做旋量（Spinor），這些旋量所決定的概率密度總是正值

同時，這些旋量的每一個標量分量 ψ ψ --> i ( x , t ) {\displaystyle \psi _{i}(\mathbf {x} ,t)} 需要滿足標量場的克萊因-戈爾登方程。比較兩者可以得出系數(shù)矩陣需要滿足如下關(guān)系:

滿足以上條件的系數(shù)矩陣 α α --> {\displaystyle \alpha } 和 β β --> {\displaystyle \beta } 本征值只可以取±1，并且要求是無跡的，即矩陣的對角線元素和為零。這樣，矩陣的階數(shù)N只能為偶數(shù)，即包含有相等數(shù)量的+1和-1。滿足條件的最小偶數(shù)是4而不是2，原因是存在3個泡利矩陣。也可以用狹義相對論慣用四維矩陣來理解，如四動量。

在不同基中這些系數(shù)矩陣有不同形式，最常見的形式為：

這里 σ σ --> i {\displaystyle \sigma _{i}} 即為泡利矩陣：

因此系數(shù)矩陣 α α --> {\displaystyle \alpha } 和 β β --> {\displaystyle \beta } 可進一步寫為：

按照量子場論的自然單位制習慣，設(shè) ? ? --> = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} ，狄拉克方程可寫為：

狄拉克方程的洛倫茲協(xié)變形式

定義四個反對易矩陣 γ ，μ=0,1,2,3（稱為狄拉克矩陣）。其反對易關(guān)系為：

利用上式可證明

因此狄拉克方程可寫成：

采取自然單位制習慣 ? ? --> = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} ，則可將狄拉克方程寫成：

與上面給出的 α , β 相對應(yīng)，可以選擇 ：

若采用費曼斜線標記，比如偏微分符號 ? ? --> / {\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}英語（英語念作d-slash ）；其將狄拉克矩陣與各分量做乘積求和的計算，合并為一標有斜線之符號：

可使狄拉克方程變成：

若同時采用費曼斜線符號及自然單位制 ? = c = 1 ，狄拉克方程可寫成一極為簡單的形式：

狄拉克之海

以狄拉克公式來解釋能量階，會發(fā)現(xiàn)每個電子能階會有相對的負能階，但是實驗上普通電子無法帶有負能量，因此狄拉克假設(shè)負能量階已被無限的負能電子海占據(jù)，所以觀測的電子無法進入負能階。這假說有許多疑點，尤其是無限的電子海其實有接受更多電子的能階，所以無法防止負能階電子的產(chǎn)生。

相關(guān)條目

狄拉克旋量

狄拉克場

薛定諤方程

克萊因-戈爾登方程

泡利方程

外爾方程

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