亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

數(shù)學型式

愛因斯坦引力場方程

其中

G μ μ --> ν ν --> {\displaystyle G_{\mu \nu }\,} 稱為愛因斯坦張量，

R μ μ --> ν ν --> {\displaystyle R_{\mu \nu }\黎曼 是從黎曼張量縮并而成的里奇張量，代表曲率項；

R {\displaystyle R\,} 是從里奇張量縮并而成的標量曲率(或里奇數(shù)量)；

g μ μ --> ν ν --> {\displaystyle g_{\mu \nu }\,} 是從(3+1)維時空的度量張量；

T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} 是能量-動量-應(yīng)力張量，

G {\displaystyle G\,} 是引力常數(shù)，

c {\displaystyle c\,} 是真空中光速。

愛因斯坦場方程是一組含有若干4階對稱張量的張量方程。每一個張量都有10個獨立的分量。由于4個比安基恒等式，我們可以將10個愛因斯坦場方程減少至6個獨立的方程組。這導致了度規(guī)張量 g μν 有4個自由度，與坐標選取的4個自由度是對應(yīng)的。

雖然愛因斯坦場方程一開始是一個應(yīng)用在四維時空的理論，但是一些理論學家嘗試將它應(yīng)用在探索n維時空上。真空中的場方程(當方程右邊的T張量等于零)定義了愛因斯坦流形。

盡管愛因斯坦方程的形式看起來很簡單，實際上他們是一組復雜的二階非線性微分方程。只要給定一個質(zhì)量與能量分布，亦即能量-動量張量，愛因斯坦場方程就變成一個度規(guī)張量 g μν 的微分方程。

一般我們借由定義愛因斯坦張量( 一個對稱的與度規(guī) g μν 有關(guān)的二階張量) ： G μ μ --> ν ν --> = R μ μ --> ν ν --> ? ? --> 1 2 R g μ μ --> ν ν --> , {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },} 來將愛因斯坦場方程寫成一個更加簡單的形式：

G μ μ --> ν ν --> = 8 π π --> G c 4 T μ μ --> ν ν --> . {\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.} 。

若使用幾何化單位制，則 G = c = 1，場方程因此簡化為：

G μ μ --> ν ν --> = 8 π π --> T μ μ --> ν ν --> . {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}

如果是使用相對論中的幾何化單位制（有理化的幾何化單位制），則場方程為：

G μ μ --> ν ν --> = 2 T μ μ --> ν ν --> . {\displaystyle G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }\,.}

此時，方程變得更簡單，連 π π --> {\displaystyle \pi } 都沒有。

等價形式

經(jīng)愛因斯坦方程組兩邊同乘以 g μν ：

R ? ? --> D 2 R + D Λ Λ --> = 8 π π --> G c 4 T {\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,} 其中D是時空維度。

兩邊在同除以 D 2 ? ? --> 1 {\displaystyle {\frac {D}{2}}-1} ：

? ? --> R + D Λ Λ --> ( D 2 ? ? --> 1 ) = 8 π π --> G c 4 T D 2 ? ? --> 1 . {\displaystyle -R+{\frac {D\Lambda }{({\tfrac {D}{2}}-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{{\tfrac {D}{2}}-1}}\,.}

兩邊在同乘? 1 / 2 g μν ：

R μ μ --> ν ν --> ? ? --> Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> D 2 ? ? --> 1 = 8 π π --> G c 4 ( T μ μ --> ν ν --> ? ? --> 1 D ? ? --> 2 T g μ μ --> ν ν --> ) . {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\tfrac {D}{2}}-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}

一般情況下，D=4：

R μ μ --> ν ν --> ? ? --> Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> = 8 π π --> G c 4 ( T μ μ --> ν ν --> ? ? --> 1 2 T g μ μ --> ν ν --> ) . {\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}

愛因斯坦場方程的性質(zhì)

能量與動量守恒

場方程的一個重要結(jié)果是遵守局域的（local）能量與動量守恒，透過應(yīng)力-能量張量（代表能量密度、動量密度以及應(yīng)力）可寫出：

場方程左邊（彎曲幾何部分）因為和場方程右邊（物質(zhì)狀態(tài)部分）僅成比例關(guān)系，物質(zhì)狀態(tài)部分所遵守的守恒律因而要求彎曲幾何部分也有相似的數(shù)學結(jié)果。透過微分比安基恒等式，以描述時空曲率的里奇張量 R μ μ --> ν ν --> {\displaystyle R^{\mu \nu }\,} （以及張量縮并后的里奇標量 R ≡ ≡ --> R μ μ --> μ μ --> {\displaystyle R\equiv R_{\mu }^{\mu }\,} ）之代數(shù)關(guān)系所設(shè)計出來的愛因斯坦張量 G μ μ --> ν ν --> ≡ ≡ --> R μ μ --> ν ν --> ? ? --> 1 2 g μ μ --> ν ν --> R {\displaystyle G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R} 可以滿足這項要求：

場方程為非線性的

愛因斯坦場方程的非線性特質(zhì)使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來說，電磁學的麥克斯韋方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分布是呈線性關(guān)系（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定諤方程，對于概率波函數(shù)也是線性的。

對應(yīng)原理

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程退化為牛頓引力定律。事實上，場方程中的比例常數(shù)是經(jīng)過這兩個近似，以跟牛頓引力理論做連結(jié)后所得出。

添加宇宙常數(shù)項

愛因斯坦為了使宇宙能呈現(xiàn)為靜態(tài)宇宙（不動態(tài)變化的宇宙，既不膨脹也不收縮），在后來又嘗試加入了一個常數(shù) Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda \,} 相關(guān)的項 Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> {\displaystyle \Lambda g_{\mu \nu }\,} 于場方程中，使得場方程形式變?yōu)椋?/span>

可以注意到 Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> {\displaystyle \Lambda g_{\mu \nu }\,} 這一項正比于度規(guī)張量，而維持住守恒律：

此一常數(shù) Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda } 被稱為宇宙常數(shù)。

這個嘗試后來因為兩個原因而顯得不正確且多此一舉：

此一理論所描述的靜態(tài)宇宙是不穩(wěn)定的。

十年后，由愛德溫·哈勃對于遠處星系所作觀測的結(jié)果證實我們的宇宙正在膨脹，而非靜態(tài)。

因此， Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda } 項在之后被舍棄掉，且愛因斯坦稱之為“一生中最大的錯誤”("biggest blunder [he] ever made") 。之后許多年，學界普遍設(shè)宇宙常數(shù)為0。

盡管最初愛因斯坦引入宇宙常數(shù)項的動機有誤，將這樣的項放入場方程中并不會導致任何的不一致性。事實上，近年來天文學研究技術(shù)上的進步發(fā)現(xiàn)，要是存在不為零的 Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda } 確實可以解釋一些觀測結(jié)果。

愛因斯坦當初將宇宙常數(shù)視為一個獨立參數(shù)，不過宇宙常數(shù)項可以透過代數(shù)運算移動到場方程的另一邊，而將這一項寫成應(yīng)力-能量張量的一部分：

剛才提到的項即可定義為：

而另外又可以定義常數(shù)

為“真空能量”密度。宇宙常數(shù)的存在等同于非零真空能量的存在；這些名詞前在廣義相對論中常交替使用。也就是說可以將 T μ μ --> ν ν --> ( v a c ) ≡ ≡ --> ? ? --> c 4 Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> 8 π π --> G {\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}} 看成和 T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} 是一樣類型的量，只是 T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} 的來源是物質(zhì)與輻射，而 ? ? --> c 4 Λ Λ --> g μ μ --> ν ν --> 8 π π --> G {\displaystyle -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}} 的來源則是真空能量。物質(zhì)、輻射與真空能量三者在物理宇宙學中扮演要角。

真空場方程

宇宙常數(shù)為零

若能量-動量張量 T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }} 在所關(guān)注的區(qū)域中為零，則場方程被稱作真空場方程。在完整的場方程中設(shè)定 T μ μ --> ν ν --> = 0 {\displaystyle T_{\mu \nu }=0} ，則真空場方程可寫為：

對此式做張量縮并，亦即使指標μ跟ν相同：

由于 g μ μ --> ν ν --> g μ μ --> ν ν --> = δ δ --> μ μ --> μ μ --> {\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }} ，整理可得：

而克羅內(nèi)克爾δ在四維空間（時空）下取跡數(shù)為4，所以式子可寫作：

是故 R = 0 {\displaystyle R=0\,} 。

因此可以得到此一更常見、等價的跡數(shù)反轉(zhuǎn)（trace-reversed）式：

宇宙常數(shù)不為零

若宇宙常數(shù)不為零，則方程為

若同上面宇宙常數(shù)為零的例子，其跡數(shù)反轉(zhuǎn)（trace-reversed）形式為

真空場方程的解顧名思義稱作真空解。平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解范例。不尋常的真空解范例包括了史瓦西解與克爾解。

附帶一提的是：微分幾何中，里奇張量為零（即： R μ μ --> ν ν --> = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} ）的流形稱作里奇平坦流形，另外里奇張量與度規(guī)成比例關(guān)系的流形，稱為愛因斯坦流形（Einstein manifold）。

愛因斯坦-麥克斯韋方程

如果方程組右邊的能量-動量張量等于電磁學中的能量-動量張量，也就是

則此方程組稱為“ 愛因斯坦-麥克斯韋方程”：

其中 F α α --> β β --> {\displaystyle F_{\alpha \beta }} 稱為電磁張量，定義如下：

其中 A α α --> {\displaystyle A_{\alpha }} 是4-矢勢，分號代表協(xié)變微分，逗號代表偏微分。

參見

廣義相對論資源

參考文獻

Aczel, Amir D., 1999. God"s Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe . Delta Science. A popular account.

Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation . W H Freeman.

免責聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。