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簡介

以拉丁文撰寫的牛頓第一定律及牛頓第二定律原本（1687年版）

經(jīng)典力學(xué)是以牛頓運動定律為基礎(chǔ)，以下分別列出三條牛頓運動定律：

第一定律：倘物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，或呈等速直線運動，只要沒外力作用，物體將保持靜止?fàn)顟B(tài)，或呈等速直線運動之狀態(tài)。這定律又稱為慣性定律。

第二定律：物體的加速度，與所受的凈外力成正比。加速度的方向與凈外力的方向相同。即 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ；其中， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是加速度， F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 是合外力， m {\displaystyle m\,\!} 是質(zhì)量。

第三定律：兩個物體的相互作用力總是大小相等，方向相反，同時出現(xiàn)或消失。強版第三定律還額外要求兩支作用力的方向都處于同一直線。

經(jīng)典力學(xué)推翻了絕對空間的概念：即在不同空間發(fā)生的事件是絕然不同的。例如，靜掛在移動的火車車廂內(nèi)的時鐘，對于站在車廂外的觀察者來說是呈移動狀態(tài)的。但是，經(jīng)典力學(xué)仍然確認(rèn)時間是絕對不變的。

由伽利略和牛頓等人發(fā)展出來的力學(xué)，著重于分析位移、速度、加速度、力等等矢量間的關(guān)系，又稱為 矢量力學(xué) 。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但并不是唯一的表述方式：約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、卡爾·雅可比等發(fā)展了經(jīng)典力學(xué)的新的表述形式，即所謂分析力學(xué)。分析力學(xué)所建立的框架是近代物理的基礎(chǔ)，如量子場論、廣義相對論、量子引力等。

微分幾何的發(fā)展為經(jīng)典力學(xué)注入了蒸蒸日盛的生命力，是研究現(xiàn)代經(jīng)典力學(xué)的主要數(shù)學(xué)工具。在日常經(jīng)驗范圍中，采用經(jīng)典力學(xué)可以計算出精確的結(jié)果。但是，在接近光速的高速度或強大引力場的系統(tǒng)中，經(jīng)典力學(xué)已被相對論力學(xué)取代；在小距離尺度系統(tǒng)中又被量子力學(xué)取代；在同時具有上述兩種特性的系統(tǒng)中則被相對論性量子場論取代。雖然如此，經(jīng)典力學(xué)仍舊是非常有用的。因為下述原因：

它比上述理論簡單且易于應(yīng)用。

它在許多場合非常準(zhǔn)確。經(jīng)典力學(xué)可用于描述人體尺寸物體的運動（例如陀螺和棒球），許多天體（如行星和星系）的運動，以及一些微尺度物體（如有機分子）。

雖然經(jīng)典力學(xué)和其他“經(jīng)典”理論（如經(jīng)典電磁學(xué)和熱力學(xué)）大致相容，在十九世紀(jì)末，還是發(fā)現(xiàn)出有些只有現(xiàn)代物理才能解釋的不一致性。特別是，經(jīng)典非相對論電動力學(xué)預(yù)言光波傳播于以太內(nèi)的速度是常數(shù)，經(jīng)典力學(xué)無法解釋這預(yù)測，因而導(dǎo)致了狹義相對論的發(fā)展。經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典熱力學(xué)的結(jié)合又導(dǎo)出吉布斯佯謬（熵不具有良好定義）和紫外災(zāi)變（在頻率趨向于無窮大時，黑體輻射的理論結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)無法吻合）。為解決這些問題的努力造成了量子力學(xué)的發(fā)展。

理論的表述

拋物線運動的理論分析屬于經(jīng)典力學(xué)的領(lǐng)域。

經(jīng)典力學(xué)有許多不同的理論表述方式：

牛頓力學(xué)（矢量力學(xué)）的表述方式。

拉格朗日力學(xué)的表述方式。

哈密頓力學(xué)的表述方式。

以下介紹經(jīng)典力學(xué)的幾個基本概念。為簡單起見，經(jīng)典力學(xué)常使用點粒子來模擬實際物體。點粒子的尺寸大小可以被忽略。點粒子的運動可以用一些參數(shù)描述：位移、質(zhì)量、和作用在其上的力。

實際而言，經(jīng)典力學(xué)可以描述的物體總是具有非零的尺寸。（超小粒子的物理行為，例如電子，必須用量子力學(xué)才能正確描述）。非零尺寸的物體比虛構(gòu)的點粒子有更復(fù)雜的行為，這是因為自由度的增加，例如棒球在移動的同時也可以旋轉(zhuǎn)。雖然如此，點粒子的概念也可以用來研究這種物體，因為這種物體可以被視為由大量點粒子組成的復(fù)合物。如果復(fù)合物的尺寸極小于所研究問題的距離尺寸，則可以推斷復(fù)合物的質(zhì)心與點粒子的行為相似。因此，使用點粒子也適合于研究這類問題。

位置及其導(dǎo)數(shù)

在空間內(nèi)，設(shè)定一坐標(biāo)系。參考此坐標(biāo)系，點粒子的位置，又稱為位置矢量，定義為從原點O指達(dá)粒子的矢量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ；矢量的端點為原點O，矢點為粒子所處地點。如果，點粒子在空間內(nèi)移動，位置會隨時間而改變，則 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是時間 t {\displaystyle t\,\!} (從任意的初始時刻開始的時間）的函數(shù)。在愛因斯坦的相對性理論之前（伽利略相對性原理），時間被認(rèn)為在所有參考系中是絕對的。也就是說，不同的觀察者在各自的參考系中所測量的時間間隔都等值。并且，經(jīng)典力學(xué)假設(shè)空間為歐幾里得幾何空間。

位移是位置的改變。假設(shè)從舊位置 r 1 {\displaystyle \mathbf {r_{1}} \,\!\,\!} 改變到新位置 r 2 {\displaystyle \mathbf {r_{2}} \,\!\,\!} ，則位移是 Δ Δ --> r = r 2 ? ? --> r 1 {\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \,\!\,\!} 。使用矢量分析的術(shù)語，假設(shè)一個粒子的位置，從舊位置移動到新位置，則位移是端點為舊位置，矢點為新位置的矢量，又稱為位移矢量。

速度

速度是位移對于時間的變化率，正式定義為位移對于時間的導(dǎo)數(shù)。以方程表達(dá)

其中， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是速度。

在經(jīng)典力學(xué)中，速度可以直接地相加或相減。例如，假設(shè)一輛車以向東60 km/h的速度超過另一輛以50 km/h向東的車，從較慢車的角度來看，它的速度是向東60 ? 50 = 10 km/h.從較快車的角度來看，較慢車以10 km/h向西行駛。如果車是向北行駛呢？速度以矢量形式直接相加；但必須用矢量分析的方法來處理。

假設(shè)，第一輛車的速度為 u = u d {\displaystyle \mathbf {u} =u\mathbf 7xwkybi \,\!} ，第二輛車的速度為 v = v e {\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} \,\!} ；其中，兩輛車的速率分別為 u {\displaystyle u\,\!} 和 v {\displaystyle v\,\!} ，而 d {\displaystyle \mathbf wjeqnug \,\!} 和 e {\displaystyle \mathbf {e} \,\!} 分別為兩輛車朝著運動方向的單位矢量。那么，從第二輛車觀察，第一輛車的速度 u ′ {\displaystyle \mathbf {u} "\,\!} 為

同樣地，從第一輛車觀察，第二輛車的速度 v ′ {\displaystyle \mathbf {v} "\,\!} 為

假設(shè)這兩輛車的運動方向相同， d = e {\displaystyle \mathbf hwapyr7 =\mathbf {e} \,\!} ，則這公式簡化為

在這里，可以忽略方向，只用速率表達(dá)：

加速度

加速度，或是說速度對于時間的變化率，是速度對于時間的導(dǎo)數(shù)，以方程表達(dá)

加速度矢量可以改變速度大小，改變速度方向，或同時改變速度的大小與方向。如果只有速度的大?。ㄋ俾剩p小，則可以稱為 減速 或 變慢 。但通常來說，速度上的任何改變，包括減速，都可以稱為加速度。

慣性參考系

在空間內(nèi)，相對于任何參考點（靜止中或移動中），一個運動中的粒子的位移、速度、和加速度都可以測量計算而求得。雖然如此，經(jīng)典力學(xué)假定有一組特別的參考系。在這組特別的參考系內(nèi)，大自然的力學(xué)定律呈現(xiàn)出比較簡易的形式。稱這些特別的參考系為慣性參考系。慣性參考系有個特性：兩個慣性參考系之間的相對速度必是常數(shù)；相對于一個慣性參考系，任何非慣性參考系必定呈加速度運動。所以，一個凈外力是零的點粒子在任何慣性參考系內(nèi)測量出的速度必定是常數(shù)；只有在凈外力非零的狀況下，才會有點粒子加速度運動。問題是，因為萬有引力的存在，并無任何方法能夠保證找到凈外力為零的慣性參考系。實際而言，相對于遙遠(yuǎn)星體呈現(xiàn)常速度運動的參考系應(yīng)是優(yōu)良的選擇。

思考同一事件在兩個慣性參考系 S {\displaystyle S\,\!} 和 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 的測量結(jié)果。假設(shè)，相對于 S {\displaystyle S\,\!} 參考系， S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 參考系以速度 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 移動。分別處于這兩個參考系的觀查者會測量到以下結(jié)果：

u ′ = u ? ? --> v {\displaystyle \mathbf {u} "=\mathbf {u} -\mathbf {v} \,\!} （同一點粒子的運動，在 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 測量的速度是在 S {\displaystyle S\,\!} 測量的速度減去 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} ）。

a ′ = a {\displaystyle \mathbf {a} "=\mathbf {a} \,\!} （點粒子的加速度和慣性參考系無關(guān)）。

F ′ = F {\displaystyle \mathbf {F} "=\mathbf {F} \,\!} （因為 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ，施于點粒子上的力和慣性參考系無關(guān);參見牛頓運動定律）。

光速不是常數(shù)。

麥克斯韋方程組的形式不是獨立于慣性參考系的；從一個慣性參考系轉(zhuǎn)換到另一個慣性參考系，則麥克斯韋方程組的形式可能會改變。

力與加速度；牛頓第二定律

牛頓第二定律把點粒子的質(zhì)量和速度用一個稱為力的矢量聯(lián)系起來。如果 m {\displaystyle m\,\!} 是點粒子的質(zhì)量，而 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 是所有作用在其上的力的矢量總合（就是， 凈作用力 ），牛頓第二定律表明

其中， p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!} 為動量。

通常，質(zhì)量 m {\displaystyle m\,\!} 與時間無關(guān)。那么，牛頓定律可以簡化為

其中， a = d v d t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm fpvung3 \mathbf {v} }{\mathrm 3y9cwzu t}}\,\!} 是加速度。

但質(zhì)量并不總是獨立于時間。例如，火箭需要噴出推進(jìn)劑，才能往前方推進(jìn)。所以，隨著時間演化，火箭質(zhì)量會漸漸減少。對于此案例，上述方程并不正確，必須使用牛頓第二定律的完整形式。

牛頓第二定律不足以獨立描述粒子的運動，還必需知道 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 的性質(zhì)和形式。假若，知道施加于點粒子的作用力，則牛頓第二定律足以描述粒子的運動。例如，一個典型的摩擦力 F R {\displaystyle \mathbf {F} _{\rm {R}}\,\!} 可以表達(dá)為：

其中， λ λ --> {\displaystyle \lambda \,\!} 是一個正值常數(shù)。

當(dāng)每個施加于點粒子的作用力的獨立關(guān)系都被設(shè)定后，它們可以被代入牛頓第二定律中，從而得到一個微分方程，稱為運動方程。繼續(xù)上面的例子，假設(shè)摩擦力是唯一作用在點粒子上的力，則運動方程為

積分這個運動方程，可以得到

其中， v 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0}\,\!} 是初始速度。此公式顯示出，這粒子的速度是隨著時間指數(shù)式遞減到0。進(jìn)一步將此公式積分，可以得到位移 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 隨著時間的函數(shù)。

引力和電磁學(xué)中的洛倫茲力是幾種常見的力。

牛頓第三定律可以用來推論作用于粒子的力：如果已知粒子A作用于另一粒子B的力是 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} ，則粒子B會有一個大小相等、方向相反的反作用力 ? ? --> F {\displaystyle -\mathbf {F} \,\!} 作用于粒子A。

能量

若施加作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 于某粒子，因而產(chǎn)生位移 Δ Δ --> r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} \,\!} ，該作用力所做的 功 W {\displaystyle W\,\!} 是一個標(biāo)量

若粒子的質(zhì)量不變，而 W t o t a l {\displaystyle W_{\rm {total}}\,\!} 是施加于粒子所有作用力所做的功，通過把每個作用力所做的功加起來得到，從牛頓第二定律：

在這里， E k {\displaystyle E_{k}\,\!} 被稱為動能。對于一個粒子，它被定義為

對于很多粒子組成的復(fù)合物體，合成體的動能是粒子的動能總和。

有一類特殊的力，稱為保守力，可以表達(dá)為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度，該函數(shù)稱為勢能，標(biāo)記為 E p {\displaystyle E_{p}\,\!} ：

如果所有總用在粒子上的力是保守的，而 E p {\displaystyle E_{p}\,\!} 是所有勢能加起來得到的總勢能，那么，

這結(jié)果稱為能量守恒定律。以公式表達(dá)

總能量 E t o t a l {\displaystyle E_{total}\,\!} 與時間無關(guān)。這結(jié)果非常有用。因為，很多常見的力是保守的。

進(jìn)階結(jié)果

牛頓的定律為復(fù)合物體提供了很多重要的結(jié)果。在這方面，牛頓定律延伸成為歐拉定律。描述一維運動的微積分也可以用來描述角動量的概念。

經(jīng)典力學(xué)有兩種其它重要的表述：拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。它們都和牛頓力學(xué)相等價。但是，在解決問題上，它們經(jīng)常有更大的威力。這些和其他的現(xiàn)代表述通常都繞過作用力的概念，而使用其他物理量，例如能量、拉格朗日量或哈密頓量，來描述力學(xué)系統(tǒng)。

經(jīng)典變換

思考兩個參考系 S {\displaystyle S\,\!} 和 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 。對于分別處于這兩個參考系的觀察者，假設(shè)同一個事件在 S {\displaystyle S\,\!} 參考系中的時空坐標(biāo)為（ x , y , z , t {\displaystyle x,\ y,\ z,\ t\,\!} ），在 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 參考系中為（ x ′ , y ′ , z ′ , t ′ {\displaystyle x\,",\ y\,",\ z\,",\ t\,"\,\!} ）。假若時間是有絕對性的（時間在兩個參考坐標(biāo)系的測量值相等），并且要求當(dāng) t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 時，令 x ′ = x {\displaystyle x\,"=x\,\!} 。假若 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 在 x {\displaystyle x\,\!} 方向以 v {\displaystyle v\,\!} 的速度相對于 S {\displaystyle S\,\!} 運動。那么，同一事件在兩個參考系 S {\displaystyle S\,\!} 和 S ′ {\displaystyle S\,"\,\!} 內(nèi)的時空坐標(biāo)關(guān)系為：

這一組公式定義了一種群變換，稱為伽利略變換。在狹義相對論的極限狀況，當(dāng)相對速度 v {\displaystyle v\,\!} 超小于光速時，這變換是正確的。

當(dāng)解析某些問題時，采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)（參考系）會帶來很多便利?？梢詫⑿D(zhuǎn)坐標(biāo)與一個簡易的慣性參考系保持映射函數(shù)關(guān)系，或者，也可提出虛假的離心力或科里奧利力。

歷史

古希臘的哲學(xué)家，包括亞里士多德在內(nèi)，可能是最早提出“萬有之本，必涵其因”論點，以及用抽象的哲理嘗試敲解大自然奧秘的思想家。當(dāng)然，對于現(xiàn)代讀者而言，許多仍舊存留下來的思想是蠻有道理的，但并沒有無懈可擊的數(shù)學(xué)理論與對照實驗來闡明跟證實。而這些方法乃現(xiàn)代科學(xué)，如經(jīng)典力學(xué)能形成的最基本因素。

約翰內(nèi)斯·開普勒為按照因果關(guān)系來解釋行星運動的科學(xué)家。他從第谷·布拉赫對火星的天文觀測資料里發(fā)現(xiàn)了火星公轉(zhuǎn)的軌道是橢圓形的。這與中世紀(jì)思維的切割，大約發(fā)生在公元1600年。差不多于同時，伽利略用抽象數(shù)學(xué)定律來解釋粒子運動。傳說他曾經(jīng)做過一個很有意思的實驗：他從比薩斜塔扔下兩個不同質(zhì)量的球，試驗這兩個球是否會同時落地。雖然這很可能僅止于傳說。但他確實進(jìn)行過在斜面上滾球的屬量性實驗；他的加速運動論顯然是由這類實驗的結(jié)果推導(dǎo)出的，而且成為了經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)。

牛頓在他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》里發(fā)表了牛頓萬有引力定律與三條牛頓運動定律：慣性定律，加速度定律和作用與反作用定律。使用運動定律與萬有引力定律，他能夠計算出普通物體與天體的運動軌道。特別值得一提的是，他研究出開普勒定律在理論方面的詳解。牛頓先前創(chuàng)發(fā)的微積分是研究經(jīng)典力學(xué)所必備的數(shù)學(xué)工具。

牛頓和那時期的同仁，除了克里斯蒂安·惠更斯所研究之波動現(xiàn)象為值得注意的例外，大多數(shù)都認(rèn)為經(jīng)典力學(xué)應(yīng)可以詮釋所有大自然的現(xiàn)象，包括用其分支學(xué)術(shù)，幾何光學(xué)，來解釋光波。甚至于他發(fā)現(xiàn)的牛頓環(huán)（一個光波干涉現(xiàn)象），牛頓都試著用自己的光微粒說來解釋。

十九世紀(jì)后期，尖端的理論與實驗發(fā)掘出許多撲碩迷離的難題。經(jīng)典力學(xué)與熱力學(xué)的連結(jié)導(dǎo)至出經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的吉布斯佯謬（熵不是個良好定義的物理量）。在原子物理的領(lǐng)域，最基本的問題，像原子模型和發(fā)射光譜等，經(jīng)典力學(xué)都無法給出合理的解釋。眾位大師盡心竭力研究這些難題，成功地發(fā)展出現(xiàn)代量子力學(xué)。類似地，在座標(biāo)轉(zhuǎn)換時（轉(zhuǎn)換于兩個移動參考系之間），因為經(jīng)典電磁學(xué)和經(jīng)典力學(xué)相互矛盾，表現(xiàn)出不同的物理行為，引起愛因斯坦的關(guān)注，經(jīng)過多年的努力，終就想出驚世的相對論。

自二十世紀(jì)末期以后，不再能虎山獨行的經(jīng)典力學(xué)，與經(jīng)典電磁學(xué)共同被牢牢的嵌入相對論和量子力學(xué)里面，成為在非相對論性和非量子力學(xué)性的極限，研究非相對論性和非量子尺寸物體的物理性質(zhì)的學(xué)術(shù)。

適用域

經(jīng)典力學(xué)的適用域。

大多數(shù)經(jīng)典力學(xué)的理論是更精準(zhǔn)理論的簡化或近似。兩個非常精準(zhǔn)的學(xué)術(shù)領(lǐng)域是廣義相對論和相對論性統(tǒng)計力學(xué)。幾何光學(xué)是量子光學(xué)的近似，并沒有比它更優(yōu)良的經(jīng)典理論了。

狹義相對論的近似

在牛頓力學(xué)，或非相對論性經(jīng)典力學(xué)里，一個粒子的動量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 表達(dá)為

其中， m 0 {\displaystyle m_{0}\,\!} 是粒子的質(zhì)量， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是粒子的速度。

在相對論里，動量表達(dá)為

其中， m 0 {\displaystyle m_{0}\,\!} 是粒子的靜止質(zhì)量。

這表達(dá)式可以對項目 v / c {\displaystyle v/c\,\!} 泰勒展開為

當(dāng) v ? ? --> c {\displaystyle v\ll c\,\!} ，速度超小于光速時，經(jīng)典近似成立。

舉例而言，回旋加速器，磁旋管，或高電壓磁控管的相對論性回旋頻率 f {\displaystyle f\,\!} 為

其中， f c {\displaystyle f_{c}\,\!} 是電子的經(jīng)典頻率， T {\displaystyle T\,\!} 是動能。

電子的靜止質(zhì)量是511KeV。假若，電磁真空管的直流加速電壓為5.11KeV，那么，頻率修正很小，只有1%。

量子力學(xué)的近似

當(dāng)系統(tǒng)尺寸接近德布羅意波長時，經(jīng)典力學(xué)的射線近似不成立，粒子具有波動性質(zhì)。根據(jù)德布羅意假說，非相對論性粒子的波長是

其中， h {\displaystyle h\,\!} 是普朗克常數(shù)。

因為電子的質(zhì)量較輕，不需要擁有很大的動量，就會顯示出波動現(xiàn)象?？肆诸D·戴維孫和雷斯特·革末首先觀察到電子的波動性質(zhì)。于1927年，他們在戴維森-革末實驗中，將以54V加速，電子波長為0.167 nm的電子束，入射于原子間隔為0.215 nm的鎳晶體標(biāo)靶.。細(xì)心地測量散射到每個角度的電子束強度，就可以得到電子的衍射圖案，與威廉·布拉格預(yù)測的X射線衍射圖案完全相同。

在電子工程領(lǐng)域，有顯示經(jīng)典力學(xué)不足的更實際例子，像隧穿二極管和積體電路內(nèi)晶體管閘極的量子隧穿效應(yīng)。

參閱

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