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麥克斯韋-玻爾茲曼分布的物理應用

麥克斯韋-玻爾茲曼分布形成了分子運動論的基礎，它解釋了許多基本的氣體性質，包括壓強和擴散。麥克斯韋-玻爾茲曼分布通常指氣體中分子的速率的分布，但它還可以指分子的速度、動量，以及動量的大小的分布，每一個都有不同的概率分布函數，而它們都是聯(lián)系在一起的。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布可以用統(tǒng)計力學來推導（參見麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計）。它對應于由大量不相互作用的粒子所組成、以碰撞為主的系統(tǒng)中最有可能的速率分布，其中量子效應可以忽略。由于氣體中分子的相互作用一般都是相當小的，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布提供了氣體狀態(tài)的非常好的近似。

在許多情況下（例如非彈性碰撞），這些條件不適用。例如，在電離層和空間等離子體的物理學中，特別對電子而言，重組和碰撞激發(fā)（也就是輻射過程）是重要的。如果在這個情況下應用麥克斯韋-玻爾茲曼分布，就會得到錯誤的結果。另外一個不適用麥克斯韋-玻爾茲曼分布的情況，就是當氣體的量子 熱波長 （ 英語 ： Thermal de Broglie wavelength ） 與粒子之間的距離相比不夠小時，由于有顯著的量子效應也不能使用麥克斯韋-玻爾茲曼分布。另外，由于它是基于非相對論的假設，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率為零的預言。

推導

麥克斯韋最初的推導假設了三個方向上的表現(xiàn)都相同，但后來在玻爾茲曼的一個推導中利用分子運動論去掉了這個假設?，F(xiàn)在，麥克斯韋-玻爾茲曼分布可以輕易地從能量的玻爾茲曼分布推出：

其中 N i 是平衡溫度 T 時，處于狀態(tài) i 的粒子數目，具有能量 E i 和簡并度 g i ， N 是系統(tǒng)中的總粒子數目， k 是玻爾茲曼常數。（注意有時在上面的方程中不寫出簡并度 g i 。在這個情況下，指標 i 將指定了一個單態(tài)，而不是具有相同能量 E i 的 g i 的多重態(tài)。）由于速度和速率與能量有關，因此方程1可以用來推出氣體的溫度和分子的速度之間的關系。這個方程中的分母稱為正則配分函數。

動量矢量的分布

下列所述的推導，與詹姆斯·克拉克·麥克斯韋描述的推導和后來由維希·玻爾茲曼描述的具有較少假設的推導都有很大不同。它與玻爾茲曼在1877年的探討比較接近。

對于“理想氣體”（由基態(tài)的非相互作用原子所組成）的情況，所有能量都是動能的形式。宏觀粒子的動能與動量的關系為：

其中 p 是動量矢量 p = [ p x , p y , p z ]的平方。因此，我們可以把方程1寫成：

其中 Z 是配分函數，對應于方程1中的分母。在這里， m 是氣體的分子質量， T 是熱力學溫度， k 是玻爾茲曼常數。這個 N i / N 的分布與找到具有這些動量分量值的分子的概率密度函數 f p 成正比，因此：

歸一化常數 c 可以通過認識到分子具有 任何 動量的概率必須為1來決定。因此，方程4在所有 p x 、 p y 和 p z 上的積分必須是1。

可以證明：

把方程5代入方程4，得出：

可以看出，這個分布是三個獨立、呈正態(tài)分布的變量 p x {\displaystyle p_{x}} 、 p y {\displaystyle p_{y}} 和 p z {\displaystyle p_{z}} 的乘積，其方差為 m k T {\displaystyle mkT} 。此外，可以看出動量的大小呈麥克斯韋-玻爾茲曼分布，其中 a = m k T {\displaystyle a={\sqrt {mkT}}} 。

能量的分布

利用 p 2 = 2 mE ，以及動量的大小的分布函數（參見以下速率分布的章節(jié)），我們便得出能量的分布：

由于能量與三個呈正態(tài)分布的動量分量的平方和成正比，因此這個分布是具有三個自由度的卡方分布：

其中

麥克斯韋-玻爾茲曼分布還可以通過把氣體視為量子氣體來獲得。

速度矢量的分布

認識到速度的概率密度函數 f v 與動量的概率密度函數成正比：

并利用 p = m v ，我們便得到：

這就是麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布。在速度相空間（ v x , v y , v z ）的一塊無窮小區(qū)域[ dv x , dv y , dv z ]內找到具有特定速度 v = [ v x , v y , v z ]的氣體分子的幾率為

像動量一樣，這個分布是三個獨立、呈正態(tài)分布的變量 v x {\displaystyle v_{x}} 、 v y {\displaystyle v_{y}} 和 v z {\displaystyle v_{z}} 的乘積，但方差為 k T m {\displaystyle {\frac {kT}{m}}} 。還可以看出，對于速度矢量[ v x , v y , v z ]，麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布是三個方向上的分布的乘積：

其中一個方向上的分布為：

這個分布具有正態(tài)分布的形式，其方差為 k T m {\displaystyle {\frac {kT}{m}}} 。正如所預料的，對于靜止的氣體，在任何方向上的平均速度都是零。

速率的分布

一些惰性氣體在298.15 K（25 °C）的溫度下的速率分布函數。y軸的單位為s/m，因此任何一段曲線下的面積（它表示速度處于那個范圍的概率）都是無量綱的。

通常，我們更感興趣于分子的速率，而不是它們的速度分量。麥克斯韋-玻爾茲曼速率分布為：

其中速率 v 定義為：

注意：在這個方程中，f(v)的單位是概率每速率，或僅僅是速率的倒數，如右圖那樣。

由于速率是三個獨立、呈正態(tài)分布的速度分量的平方之和的平方根，因此這個分布是麥克斯韋-玻爾茲曼分布。

我們通常更感興趣于粒子的平均速率，而不是它們的實際分布。平均速率、最概然速率（眾數），以及均方根速率可以從麥克斯韋-玻爾茲曼分布的性質獲得。

典型的速率

雖然以上的方程給出了速率的分布，或具有特定速率的分子的比例，我們通常更感興趣于粒子的平均速率，而不是它們的實際分布。

最概然速率

最概然速率 v p ，是系統(tǒng)中任何分子最有可能具有的速率，對應于 f ( v )的最大值或眾數。要把它求出來，我們計算 df / dv ，設它為零，然后對 v 求解：

得出：

其中 R 是氣體常數， M =N A m 是物質的摩爾質量。

對于室溫（300K）下的氮氣（空氣的主要成分），可得 v p = 422 {\displaystyle v_{p}=422} m/s。

平均速率

平均速率是速率分布的數學期望值：

均方根速率

均方根速率 v rms 是速率的平方的平均值的平方根：

三種典型速率的關系

它們具有以下的關系：

非統(tǒng)計的推導方式

馬克斯威-玻爾茲曼速率分布也可直接由氣體速率均向性以及分離變數的假設以微分方程計算得到指數函數之形式，微分方程解的未定數項則由粒子總數以及方均根速率和玻爾茲曼常量的氣體動力論關系兩者聯(lián)立得解.詳見外部鏈接.

相對論氣體的速率分布

電子氣體在不同溫度下的Maxwell-Juttner速率分布 (相對論麥克斯韋分布)

當氣體越來越熱時， kT 趨于或超過 mc ，這個相對論麥克斯韋氣體的速率分布由Maxwell-Juttner分布給出： :

其中 β β --> = v c , {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},} γ γ --> = 1 1 ? ? --> β β --> 2 , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{2}}}}},} θ θ --> = k T m c 2 , {\displaystyle \theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},} 和 K 2 {\displaystyle K_{2}} 是第二類變形貝塞爾函數。

參見

玻爾茲曼因子

瑞利分布

理想氣體狀態(tài)方程

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋

分子運動論

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