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洛倫茲變換的提出

19世紀(jì)后期建立了麥克斯韋方程組，標(biāo)志著經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)取得了巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經(jīng)典力學(xué)的伽利略變換下并不是協(xié)變的。

由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動(dòng)方程，由波動(dòng)方程解出真空中的光速是一個(gè)常數(shù)。按照經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀，這個(gè)結(jié)論應(yīng)當(dāng)只在某個(gè)特定的慣性參照系中成立，這個(gè)參照系就是以太。其它參照系中測(cè)量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系相對(duì)以太參照系的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)測(cè)量不到地球相對(duì)于以太參照系的運(yùn)動(dòng)速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用于解釋邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。根據(jù)他的設(shè)想，觀察者相對(duì)于以太以一定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度在運(yùn)動(dòng)方向上發(fā)生收縮，抵消了不同方向上由于光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)的零結(jié)果。

洛倫茲變換的數(shù)學(xué)形式

沿著快速加速的觀察者的世界線來(lái)看的時(shí)空。 豎直方向表示時(shí)間。水平方向表示距離，虛劃線是觀察者的時(shí)空軌跡（“世界線”）。圖的下四分之一表示觀察者可以看到的事件。上四分之一表示光錐- 將可以看到觀察者的事件點(diǎn)。小點(diǎn)是時(shí)空中的任意的事件。 世界線的斜率（從豎直方向的偏離）給出了相對(duì)于觀察者的速度。注意看時(shí)空的圖像隨著觀察者加速時(shí)的變化。

洛倫茲提出洛倫茲變換是基于以太存在的前提的，然而以太被證實(shí)是不存在的，根據(jù)光速不變?cè)?，相?duì)于任何慣性參照系，光速都具有相同的數(shù)值。愛(ài)因斯坦據(jù)此提出了狹義相對(duì)論。在狹義相對(duì)論中，空間和時(shí)間并不相互獨(dú)立，而是一個(gè)統(tǒng)一的四維時(shí)空整體，不同慣性參照系之間的變換關(guān)系式與洛倫茲變換在數(shù)學(xué)表達(dá)式上是一致的，即：

其中x、y、z、t分別是慣性坐標(biāo)系Σ下的坐標(biāo)和時(shí)間，x"、y"、z"、t"分別是慣性坐標(biāo)系Σ"下的坐標(biāo)和時(shí)間。v是Σ"坐標(biāo)系相對(duì)于Σ坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)速度，方向沿x軸。

由狹義相對(duì)性原理，只需在上述洛倫茲變換中把v變成-v，x"、y"、z"、t"分別與x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式：

洛倫茲變換是高速運(yùn)動(dòng)的宏觀物體在不同慣性參照系之間進(jìn)行坐標(biāo)和時(shí)間變換的基本規(guī)律。當(dāng)相對(duì)速度v遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速c時(shí)，洛倫茲變換退化為經(jīng)典力學(xué)中的伽利略變換:

所以，狹義相對(duì)論與經(jīng)典力學(xué)并不矛盾，狹義相對(duì)論將經(jīng)典力學(xué)擴(kuò)展到了宏觀物體在一切運(yùn)動(dòng)速度下的普遍情況，經(jīng)典力學(xué)只是相對(duì)論在低速時(shí)（v遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于c）的近似情況。一般在處理運(yùn)動(dòng)速度不太高的物體時(shí)（如天體力學(xué)中計(jì)算行星的運(yùn)行軌道），不需考慮到相對(duì)論效應(yīng)，因?yàn)橛孟鄬?duì)論進(jìn)行處理時(shí)計(jì)算往往變得非常繁瑣，而結(jié)果與經(jīng)典情況相差不大。當(dāng)處理高速運(yùn)動(dòng)的物理時(shí)，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對(duì)論效應(yīng)對(duì)結(jié)果帶來(lái)的修正。

洛倫茲變換的四維形式

在狹義相對(duì)論中，某一事件可以用帶有四個(gè)參數(shù)的時(shí)空坐標(biāo)（t,x,y,z）來(lái)描述，洛倫茲變換就是在不同慣性參考系中觀察同一事件的時(shí)空坐標(biāo)變換關(guān)系，并且是滿足四維空間中間隔（s =c t -x -y -z ）不變的變換。如果將x、y、z記成x 、x 、x ，并且令：

那么洛倫茲變換可以寫成如下的矩陣形式：

其中

洛倫茲變換的推導(dǎo)

相對(duì)原則和光速不變的物理原則是狹義相對(duì)論通常的出發(fā)點(diǎn)（例：愛(ài)因斯坦最初對(duì)洛倫茲變換的推導(dǎo)）。實(shí)際上洛倫茲變換并不取決于光的物理性質(zhì)：最重要的是粒子間的作用的地區(qū)性：一粒子對(duì)另外一粒子的影響作用不能任意快地傳遞，而作用傳遞的最高速度必須是所有在所有參照系一樣的速度 。此最高速度剛好等于真空中光速。

從群論出發(fā)的推導(dǎo)

所有參照系間轉(zhuǎn)換以轉(zhuǎn)換疊加作為乘法組成一個(gè)群。它們符合以下公理：

閉合：兩個(gè)參照系轉(zhuǎn)換疊加得另外一轉(zhuǎn)換。以 [ K → → --> K ′ ′ --> ] {\displaystyle [K\to K^{\prime }]} 寫 K {\displaystyle K} 到 K ′ ′ --> {\displaystyle K^{\prime }} 。那對(duì)任意三個(gè)參照系 [ K → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ] = [ K → → --> K ′ ′ --> ] [ K ′ ′ --> → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ] {\displaystyle [K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]}

組合律： [ K → → --> K ′ ′ --> ] ( [ K ′ ′ --> → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ] [ K ′ ′ --> ′ ′ --> → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ′ ′ --> ] ) = ( [ K → → --> K ′ ′ --> ] [ K ′ ′ --> → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ] ) [ K ′ ′ --> ′ ′ --> → → --> K ′ ′ --> ′ ′ --> ′ ′ --> ] {\displaystyle [K\to K^{\prime }]\left([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]\right)=\left([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]\right)[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]}

單位元：存在保留參照系的單位轉(zhuǎn)換 [ K → → --> K ] {\displaystyle [K\to K]}

逆元：對(duì)任何參照系轉(zhuǎn)換 [ K → → --> K ′ ′ --> ] {\displaystyle [K\to K^{\prime }]} 都有返回原本參照系的轉(zhuǎn)換 [ K ′ ′ --> → → --> K ] {\displaystyle [K^{\prime }\to K]}

符合群公理的轉(zhuǎn)換矩陣

考慮兩個(gè)參照系 K {\displaystyle K} 和 K ′ ′ --> {\displaystyle K^{\prime }} ， K ′ ′ --> {\displaystyle K^{\prime }} 的原點(diǎn)相對(duì) K {\displaystyle K} 原點(diǎn)速度為 v {\displaystyle v} （設(shè)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?z {\displaystyle z} 方向，以下忽略無(wú)關(guān)的 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 方向）。出于時(shí)空的均勻性洛倫茲變換必須保留慣性運(yùn)動(dòng)，因此它必須是一個(gè)線性轉(zhuǎn)換而可以以矩陣表示：

以上 Λ Λ --> i j {\displaystyle \Lambda _{ij}} 是有待計(jì)算的矩陣元。它們是相對(duì)速度 v {\displaystyle v} 的函數(shù)。

參照系 K ′ ′ --> {\displaystyle K^{\prime }} 的原點(diǎn) O ′ ′ --> {\displaystyle O^{\prime }} 在參照系 K {\displaystyle K} 的運(yùn)動(dòng)：

得

同樣參照系 K {\displaystyle K} 的原點(diǎn) O {\displaystyle O} 在參照系 K ′ ′ --> {\displaystyle K^{\prime }} 的運(yùn)動(dòng)：

得

因此主斜兩項(xiàng)相等且可稱為 γ γ --> ≡ ≡ --> Λ Λ --> 11 = Λ Λ --> 22 {\displaystyle \gamma \equiv \Lambda _{11}=\Lambda _{22}\,} 。還有 Λ Λ --> 21 = ? ? --> v γ γ --> {\displaystyle \Lambda _{21}=-v\,\gamma } ：

因?yàn)?t ′ ′ --> = γ γ --> t {\displaystyle t^{\prime }=\gamma t} ， γ γ --> {\displaystyle \gamma時(shí)間膨脹的意義就是時(shí)間膨脹的因子。因?yàn)闀r(shí)空的各向同性， γ γ --> {\displaystyle \gamma } 只能取決于速度而不取決于方向。也就是說(shuō) γ γ --> ( ? ? --> v ) = γ γ --> ( v ) {\displaystyle \gamma (-v)=\gamma (v)} 。 群元可逆因此取逆矩陣：

當(dāng)然逆轉(zhuǎn)換只等同于反方向同速的轉(zhuǎn)換。運(yùn)用上段 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 的性質(zhì)

每項(xiàng)比較得到：

從群的閉合性要求連續(xù)兩次轉(zhuǎn)換等于以速度和的單次轉(zhuǎn)換。也就是說(shuō)兩個(gè)矩陣的積：

必須擁有同樣的矩陣型式。這意味著主斜線上兩項(xiàng)相等。因此以下比例：

必須是一個(gè)和參照系相對(duì)速度 v {\displaystyle v} 無(wú)關(guān)的常數(shù)。 插入較前等式得 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 的定義：

而最廣泛的洛倫茲變換矩陣型式為：

到這里 c 2 = 1 | κ κ --> | {\displaystyle c^{2}={\frac {1}{|\kappa |}}} 就是轉(zhuǎn)換的不變速度。如果 κ κ --> > 0 {\displaystyle \kappa \,>0} ，c是一個(gè)速度的下限。這明顯與物理現(xiàn)實(shí)不符。因此 κ κ --> ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle \kappa \leq 0} 。但還可以分成 κ κ --> = 0 {\displaystyle \kappa \,=0} 和 κ κ --> < 0 {\displaystyle \kappa \,<0} 兩種情形：

伽利略轉(zhuǎn)換

κ κ --> = 0 {\displaystyle \kappa =0} 得伽利略轉(zhuǎn)換矩陣：

在此情況下時(shí)間是絕對(duì)的： t ′ ′ --> = t {\displaystyle t^{\prime }=t} 。

洛倫茲變換

在更一般 c = 1 ? ? --> κ κ --> {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}} 的情況就得到先前的洛倫茲變換矩陣：

c {\displaystyle c} 是在所有參照系內(nèi)不變的速度上限。

到底世界是屬于 κ κ --> = 0 {\displaystyle \kappa =0} 還是 κ κ --> < 0 {\displaystyle \kappa <0} 類型是最終只能靠實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。例如邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)。

洛倫茲變換的推論

由洛倫茲變換可以得到相對(duì)論的速度變換公式。設(shè)u x 、u y 、u z 分別是物體在慣性坐標(biāo)系Σ下沿各坐標(biāo)軸的速度分量，u" x 、u" y 、u" z 分別是物體在慣性坐標(biāo)系Σ"下沿各坐標(biāo)軸的速度分量，那么：

如果把v變成-v，u x 、u y 、u z 分別與u" x 、u" y 、u" z 互換，就得到上述速度變換的反變換式。

當(dāng)速度v遠(yuǎn)小于光速時(shí)，上述速度變換式退化為經(jīng)典的速度變換式：

洛倫茲變換的幾何理解

在平面幾何，一個(gè)矢量在某座標(biāo)系統(tǒng)為 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 。如果我們?cè)谠c(diǎn)以 θ θ --> {\displaystyle \theta } 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)原本座標(biāo)軸做新的座標(biāo)系統(tǒng)。在新系統(tǒng)內(nèi)，同一矢量座標(biāo)為: ( x ′ ′ --> , y ′ ′ --> ) {\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime })} ：

當(dāng)然雖然矢量的座標(biāo)在不同座標(biāo)系統(tǒng)里面不一樣，它的長(zhǎng)度不變： ( x ′ ′ --> ) 2 + ( y ′ ′ --> ) 2 = ( x ) 2 + ( y ) 2 {\displaystyle (x^{\prime })^{2}+(y^{\prime })^{2}=(x)^{2}+(y)^{2}} 。 另外如果我們以另外角度 ? ? --> {\displaystyle \phi } 再旋轉(zhuǎn)一次，那矢量新座標(biāo)和原座標(biāo)關(guān)系為：

即： 連續(xù)的轉(zhuǎn)角可加 。

我們可以相似般把洛倫茲變換看成一種類似的座標(biāo)旋轉(zhuǎn)。定義快度 w = arctanh β β --> {\displaystyle w={\text{arctanh}}\beta } 。那以上洛倫茲變換公式可以寫成（略去不受影響的 x 2 {\displaystyle x^{2}} 和 x 3 {\displaystyle x^{3}} ）：

也就是說(shuō)： 洛倫茲變換數(shù)學(xué)上等同于雙曲角旋轉(zhuǎn) 。此座標(biāo)“旋轉(zhuǎn)”中類似“長(zhǎng)度”的不變量是：

如果我們先轉(zhuǎn)換到相對(duì)原本叁考系統(tǒng)速度為 β β --> 21 {\displaystyle \beta _{21}} 的叁考系統(tǒng)，然后再轉(zhuǎn)換到相對(duì)第二個(gè)叁考系統(tǒng)速度為 β β --> 32 {\displaystyle \beta _{32}} 的叁考系統(tǒng)。令 w 21 = arctanh β β --> 21 {\displaystyle w_{21}={\text{arctanh}}\beta _{21}} 、 w 32 = arctanh β β --> 32 {\displaystyle w_{32}={\text{arctanh}}\beta _{32}} 。那么在原本叁考系統(tǒng)座標(biāo)為 ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle (x^{0},x^{1})} 的事件在兩次轉(zhuǎn)換后叁考系統(tǒng)內(nèi)座標(biāo) ( x ′ ′ --> ′ ′ --> 0 , x ′ ′ --> ′ ′ --> 1 ) {\displaystyle (x^{\prime \prime }{}^{0},x^{\prime \prime }{}^{1})} 為：

所以我們發(fā)現(xiàn)洛倫茲變換里直接相加的數(shù)量不是速度 β β --> {\displaystyle \beta } 而是這個(gè)類似角度的 w = arctanh β β --> {\displaystyle w={\text{arctanh}}\beta } 。日常經(jīng)驗(yàn)我們使用的伽利略變換把速度直接相加減。這是因?yàn)樵谒俣冗h(yuǎn)小于光速（ β β --> ? ? --> 1 {\displaystyle \beta \ll 1} ）的時(shí)候 w {\displaystyle w} 近似速度 w ? ? --> β β --> {\displaystyle w\simeq \beta } 。

當(dāng)然我們也可以直接從原本的叁考系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)換到最后的叁考系統(tǒng)。如果兩者速度為 β β --> 31 {\displaystyle \beta _{31}} ，那么

因此得到相對(duì)論速率加法公式。

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