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定義

勒讓德符號(ap){\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}是對于所有的正整數(shù)a{\displaystyle a} 和所有的素數(shù)p{\displaystyle p} 定義的。

當(ap)=1{\displaystyle ({\frac {a}{p}})=1} 時，稱a{\displaystyle a} 是模p{\displaystyle p}的二次剩余；當(ap)=? ? -->1{\displaystyle ({\frac {a}{p}})=-1} 時，稱a{\displaystyle a} 是模p{\displaystyle p}的二次非剩余。

運用勒讓德符號計算時要將 a{\displaystyle a} 分解成標準形式，計算上十分麻煩，因此產(chǎn)生了雅可比符號：

設(shè) m{\displaystyle m} 是一個正奇數(shù)，其質(zhì)因數(shù)分解式為 m=∏ ∏ -->i=pi{\displaystyle m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}}，并且正整數(shù) a{\displaystyle a} 滿足 (m,a)=1{\displaystyle (m,a)=1} 那么定義(am)=∏ ∏ -->i=(api){\displaystyle ({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})}。

參見

克羅內(nèi)克符號，將雅可比符號推廣到任意自然數(shù)上。

參考來源

Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02045-5  

Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin:Springer, 2000, ISBN 3-540-66967-4  

Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York:Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X 

Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 

Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York:Springer, 1986, ISBN 0387962549 

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