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證明

證明卡諾定理

此定理可用以下的方式，針對(duì)不可逆熱機(jī)及可逆熱機(jī)的情形進(jìn)行證明

不可逆熱機(jī)

假設(shè)一不可逆熱機(jī)，其熱源為T(mén)1{\displaystyle T_{1}}及T2{\displaystyle T_{2}}，其熱效率為η η -->{\displaystyle \eta }，此熱機(jī)和一個(gè)效率為η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \prime }的逆卡諾熱機(jī)，依右圖的方式組合成一個(gè)熱力學(xué)循環(huán)，不可逆熱機(jī)產(chǎn)生的功為逆卡諾熱機(jī)的工作來(lái)源。

若η η -->=η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta =\eta \prime }，則此熱力學(xué)循環(huán)對(duì)系不可逆性何影響，與不可逆性矛盾，因此不成立。

若η η -->>η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta >\eta \prime }，則此熱力學(xué)循環(huán)可由低溫?zé)嵩碩2{\displaystyle T_{2}}取出

的能量，將此能量釋放到高溫?zé)嵩碩1{\displaystyle T_{1}}，且不引起其他變化，違反熱力學(xué)第二定律，也無(wú)法成立。

因此結(jié)論為η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta ，不可逆熱機(jī)的效率η η -->{\displaystyle \eta }較卡諾熱機(jī)的效率η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \prime }低。

可逆熱機(jī)

對(duì)于可逆熱機(jī)的例子，可依類似的方式得到η η -->? ? -->η η -->′ ′ -->{\displaystyle \eta \leqslant \eta \prime }的結(jié)果。

若用待測(cè)的可逆熱機(jī)當(dāng)成逆熱機(jī)，和一般的卡諾熱機(jī)形成一個(gè)熱力學(xué)循環(huán)，也可得到η η -->′ ′ -->? ? -->η η -->{\displaystyle \eta \prime \leqslant \eta }的結(jié)果。

由于上述二式需同時(shí)成立，可得以下的式子

應(yīng)用在燃料電池上

有關(guān)卡諾定理是否能應(yīng)用在燃料電池，至今科學(xué)家還沒(méi)有達(dá)成共識(shí)。凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的教授認(rèn)為“由于燃料電池中的電化學(xué)反應(yīng)不涉及將熱能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，因此不受卡諾定理的限制”。不過(guò)K. T. Jacob及Saurabh Jain則認(rèn)為“傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為燃料電池不受卡諾定理的限制，不過(guò)最近幾篇論文都認(rèn)為熱力學(xué)第二定律不但限制熱機(jī)的效率，也以同樣方式限制燃料電池的效率”

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