亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

方程的形式

范德華方程具體形式為

式中

p 為氣體的壓強(qiáng)

a" 為度量分子間引力的唯象參數(shù)

b" 為單個(gè)分子本身包含的體積

v 為每個(gè)分子平均占有的空間大小（即氣體的體積除以總分子數(shù)量）;

k 為玻爾茲曼常數(shù)

T 絕對(duì)溫度

更常用的形式為

在第二個(gè)方程里

V 為總體積

n 為摩爾數(shù)

a 為度量分子間引力的參數(shù) a = N A 2 a ′ {\displaystyle a=N_{A}^{2}a"}

b 為1摩爾分子本身包含的體積之和 b = N A b ′ {\displaystyle b=N_{A}b"} ,

R 為普適氣體常數(shù)

N A {\displaystyle N_{A}} 為阿伏伽德羅常量.

下表列出了部分氣體的 a ， b 的值

在上述方程中必須嚴(yán)格區(qū)分總體平均性質(zhì)和單個(gè)分子的性質(zhì)。譬如，第一個(gè)方程中的 v 是每個(gè)分子平均占有空間的大?。梢岳斫獬煞肿悠骄皠?shì)力范圍”的大?。?b" 則為單個(gè)分子本身“包含”的體積（若為單原子分子如稀有氣體， b "就是原子半徑內(nèi)包含的體積）。

適用范圍

范氏方程對(duì)氣-液臨界溫度以上流體性質(zhì)的描寫優(yōu)于理想氣體方程。對(duì)溫度稍低于臨界溫度的液體和低壓氣體也有較合理的描述。

但是，當(dāng)描述對(duì)象處于狀態(tài)參量空間(P,V,T)中氣液相變區(qū)（即正在發(fā)生氣液轉(zhuǎn)變）時(shí)，對(duì)于固定的溫度，氣相的壓強(qiáng)恒為所在溫度下的飽和蒸氣壓，即不再隨體積 V （嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)該是單位質(zhì)量氣體占用的體積，即 比容 ）變化而變化，所以這種情況下范氏方程不再適用。

方程的提出

水分子之間的范氏引力

  一個(gè)雙原子分子的排斥體積（圖中黑色的部分）

下面以理想氣體狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)范氏方程。若把氣體視為由體積無(wú)限小、相互之間無(wú)作用力的分子組成，這種模型便是理想氣體模型，與其相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程是：

若拋棄前一個(gè)的假設(shè)，把組成氣體的分子視為有一定大小的 剛性球 （其半徑稱為范德華半徑），用 b 表示這些“球”的體積，上面的方程便改寫為：

在這里，每個(gè)分子的“占有體積” v 被所謂“排斥體積” v - b 代替，反映了分子在空間中不能重疊。若氣體被壓縮至體積接近分子體積之和（即分子間空隙 v - b 趨向于0），那么其壓強(qiáng)將趨于無(wú)窮大。

下一步，我們考慮原子對(duì)之間的引力。引力的存在會(huì)使分子的平均亥姆霍茲自由能下降，減少量正比于流體的密度。但壓強(qiáng)的大小滿足熱力學(xué)關(guān)系

式中 A* 為每個(gè)分子的亥姆霍茲自由能。由此得到，引力使壓強(qiáng)減小的量正比于 1/v2 。記該比例常數(shù)為 a ，可得

這便是范氏方程。

與理想氣體方程模擬結(jié)果的比較

低壓狀況

在氣體壓強(qiáng)不太高的情況下，以下事實(shí)成立：

排斥體積 b 的影響相對(duì) V 而言極小，可以忽略；以二氧化碳（CO 2 ）為例，在標(biāo)準(zhǔn)狀況（0 °C，1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）下，一摩爾CO 2 體積 V 為 22414 cm3，而相應(yīng)的 b = 43 cm3，比 V 小3個(gè)數(shù)量級(jí)；

分子間的距離足夠大， a/V2 項(xiàng)完全可以視為0；譬如在一大氣壓下二氧化碳?xì)怏w的 a/V2 值只有7‰。

所以此時(shí)理想氣體方程是范氏方程（也是對(duì)實(shí)際氣體行為的）的一個(gè)良好近似。

分別用理想氣體方程和范德華方程模擬的二氧化碳?xì)怏w70°C時(shí)的p-V等溫線

中高壓狀況

隨著氣體壓力的增加，范氏方程和理想氣體方程結(jié)果的差別會(huì)變得十分明顯（左圖為CO 2 分別用理想氣體方程和范德華方程模擬的p-V等溫線，溫度70 °C）：

在壓強(qiáng)為5000~15000kPa（50~150標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）的 中壓區(qū) ，由于體積被“壓小”導(dǎo)致分子間距靠近，分子間的引力（表現(xiàn)為a/V2 項(xiàng)）變得不可忽略。a/V2 項(xiàng)的存在使得氣體的壓強(qiáng)比不考慮分子間引力的理想氣體模型估計(jì)結(jié)果要?。ㄋ宰髨D的中壓區(qū)里紅線比藍(lán)線要低）。

在壓強(qiáng)為15000kPa以上的 高壓區(qū) ，體積的急劇壓縮致使 b 的影響不可忽略，于是范氏方程中的體積項(xiàng) V-Nb （或比容項(xiàng) v-b ）將比理想氣體方程中的體積項(xiàng)要?。ɑ蛘哒f(shuō)：對(duì)應(yīng)相同體積/比容值的壓強(qiáng)項(xiàng)會(huì)升高）。這一效應(yīng)導(dǎo)致在高壓區(qū)范氏氣體的狀態(tài)線重新趕上并超過(guò)理想氣體線（見(jiàn)左圖的左上角）。

用范氏方程描述氣體的液化

范氏方程適用于氣體的液化過(guò)程。氣體液化可能發(fā)生的最高溫度稱為臨界溫度 ，用 T C 表示：

當(dāng)溫度 T>T C 時(shí)，無(wú)論給氣體施加多大的壓強(qiáng)都無(wú)法將它液化；

當(dāng)溫度 T C 時(shí)，氣體可在壓強(qiáng)大于一定值時(shí)液化，且這一壓強(qiáng)隨著溫度 T 下降而下降；

  用范德華方程模擬的二氧化碳?xì)怏w不同溫度下壓縮過(guò)程的p-V等溫線，在臨界溫度以下時(shí)能看見(jiàn)明顯的液化過(guò)程

右圖所示為用范氏方程模擬的CO 2 在不同溫度下的 p-V 等溫線，從中可以明顯看出范氏方程對(duì)液化過(guò)程的模擬（注意：若用理想氣體狀態(tài)方程作上述模擬，得到的只是一系列雙曲線，因?yàn)樵诘葴貤l件下理想氣體狀態(tài)方程就退化為玻意耳-馬略特定律—— pV =常數(shù)）。CO 2 氣體的臨界溫度為 T C =31 °C = 304 K。

70 °C 時(shí)的曲線（右圖中藍(lán)線）形狀仍與玻意耳定律的結(jié)果（雙曲線）類似，盡管位置要略低；

當(dāng)溫度下降到40 °C，曲線（右圖中右二的曲線）形狀發(fā)生明顯的變化，表現(xiàn)為兩個(gè)拐點(diǎn)的出現(xiàn)。但此時(shí)二氧化碳仍然以氣態(tài)存在；

溫度進(jìn)一步降至臨界溫度31 °C（圖中紅線），若此時(shí)氣體受壓至體積小于某定值 V C （隨溫度變化而變化），則氣體將發(fā)生液化。圖中 V>V C 時(shí)曲線對(duì)應(yīng)氣態(tài)CO 2 的 p ， V 值， V C 時(shí)曲線對(duì)應(yīng)液態(tài)CO 2 的 p ， V 值；

圖中13 °C 和 21 °C 對(duì)應(yīng)的曲線只有兩拐點(diǎn)以外的部分是與物理實(shí)際相符的。當(dāng)氣體被進(jìn)一步壓縮至比右拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)體積更小時(shí)，氣體將進(jìn)入液化區(qū)，在液化過(guò)程中實(shí)際氣體的p-V線應(yīng)是一段“平臺(tái)”，而不是如圖所示的“駝峰”型。但完全液化后，液態(tài)CO 2 的壓強(qiáng)卻仍能被圖中曲線恰當(dāng)?shù)胤从?，此時(shí)曲線隨體積的減小而劇烈上升，這一定程度上反映了液體的不可壓縮性。另外，我們從圖中能得到的另一個(gè)信息就是“液化平臺(tái)”的長(zhǎng)度隨溫度的下降而增加；

氣體的臨界狀態(tài)參量 V C 、 p C 、 T C 和范德華常數(shù) a 、 b 之間存在下列數(shù)學(xué)關(guān)系：

我們可以利用這些關(guān)系通過(guò)測(cè)出氣體的 T C 和對(duì)應(yīng)的 p C 來(lái)得到 a 和 b 的值（由于測(cè)量上的困難，一般不使用 V C ）。

其他熱力學(xué)參量

下面，我們不再考慮 v=V/N （ N 為系統(tǒng)中的分子數(shù)），改為考慮總體體積 V 。

狀態(tài)方程并不能告訴我們系統(tǒng)的所有熱力學(xué)參量。我們可以照搬上面推導(dǎo)范氏方程的思路，從理想氣體的亥姆霍茲自由能表達(dá)式出發(fā)，推得下面的結(jié)論：

式中 A 為亥姆霍茲自由能， c ^ ^ --> v {\displaystyle {\hat {c}}_{v}} 是無(wú)量綱的定容熱容， Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是待定的熵常數(shù)。上述方程將 A 用它的自然變量 V 和 T 表示 ，所以系統(tǒng)的所有熱力學(xué)信息已全部知道。其力學(xué)狀態(tài)方程就是前面導(dǎo)出的范氏方程

系統(tǒng)的熵( S )由下式?jīng)Q定

綜合 A 和 S 的表達(dá)式，可由定義得到系統(tǒng)內(nèi)能

其他熱力學(xué)勢(shì)和化學(xué)勢(shì)也可用類似的方程給出，但任何勢(shì)函數(shù)若要用壓強(qiáng) P 表示都需要求解一個(gè)三階多項(xiàng)式，使結(jié)果的形式變得很繁雜。所以，將焓和吉布斯能用它們相應(yīng)的自然變量表示的結(jié)果都是復(fù)雜的（因?yàn)?P 是它們的自然變量之一）。

簡(jiǎn)化形式

雖然在一般形式的范氏方程中，常數(shù) a 和 b 因氣體/流體種類而異，但我們可以通過(guò)改變方程的形式，得到一種適用于 所有 氣體/流體的普適形式。

按照下面的方式定義約減變量（亦稱折合變量 ，就是把變量轉(zhuǎn)換成其無(wú)量綱形式），其中下標(biāo) R 表示約減變量，下標(biāo) C 表示原變量的臨界值：

式中 p C = a 27 b 2 {\displaystyle p_{C}={\frac {a}{27b^{2}}}} ， v C = 3 b {\displaystyle \displaystyle {v_{C}=3b}} ， k T C = 8 a 27 b {\displaystyle kT_{C}={\frac {8a}{27b}}} 。

用約減變量代替原變量，范氏方程形式變?yōu)?/span>

這就是范氏方程的不變形式，即這一形式不會(huì)因應(yīng)用流體種類改變而改變。

上述方程的不變性質(zhì)亦稱對(duì)應(yīng)狀態(tài)原理。

在可壓縮流動(dòng)中的應(yīng)用

在流體力學(xué)中，范氏方程可以作為可壓縮流體（如液態(tài)高分子材料）的PVT狀態(tài)方程。這種情況下，由于比容 V 變化不大，可將方程簡(jiǎn)化為：

( p + A ) ( V ? ? --> b ) = C T {\displaystyle (p+A)(V-b)=CT\,} ,

其中p為壓強(qiáng)， V 為比容， T 為溫度， A 、 B 、 C 均為與對(duì)象相關(guān)的參數(shù)。

參考資料

趙凱華、羅蔚茵著，《新概念物理教程·熱學(xué)》（第二版），高等教育出版社，北京，2005，ISBN 7-04-017680-7

汪志誠(chéng)編，《熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理》（第二版），高等教育出版社，北京，1993，ISBN 7-04-004360-2

參見(jiàn)

狀態(tài)方程

氣體定律

范德華常數(shù)表

范德華力

范德華半徑

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請(qǐng)告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。