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定義

給定一個(gè)拓?fù)淇臻gX上的一個(gè)復(fù)向量叢E,E的陳類是一系列X的上同調(diào)的元素。E的第k個(gè)陳類通常記為ck(E),是X的整數(shù)系數(shù)的上同調(diào)群H(X;Z)中的一個(gè)元素，并且滿足如下公理:

公理1. 對(duì)于任何E, c0(E)=1∈ ∈ -->H0(X;Z);{\displaystyle E,\ c_{0}(E)=1\in H^{0}(X;\mathbb {Z} );}

公理2. 自然性：如果E→ → -->X{\displaystyle E\to X}是一個(gè)復(fù)向量叢，f:Y→ → -->X{\displaystyle f:Y\to X} 是一個(gè)連續(xù)映射，f? ? -->E→ → -->Y{\displaystyle f^{*}E\to Y}是拉回的向量叢，那么對(duì)任意k，ck(f? ? -->E)=f? ? -->(ck(E))∈ ∈ -->H2k(Y;Z){\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}(c_{k}(E))\in H^{2k}(Y;{\mathbb {Z} })}.

公理3. 惠特尼求和公式：如果E1,E2→ → -->X{\displaystyle E_{1},E_{2}\to X}是兩個(gè)復(fù)向量叢，那么它們的直和E1⊕ ⊕ -->E2{\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}}的陳類是

ck(E1⊕ ⊕ -->E2)=∑ ∑ -->i=0kci(E1)∪ ∪ -->ck? ? -->i(E2){\displaystyle c_{k}(E_{1}\oplus E_{2})=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E_{1})\cup c_{k-i}(E_{2})}.

公理4. 如果H→ → -->P1{\displaystyle H\to {\mathbb {P} }^{1}}是復(fù)射影直線上的超平面叢，那么c1(H){\displaystyle c_{1}(H龐加萊龐加萊對(duì)偶是1∈ ∈ -->H0(P1;Z){\displaystyle 1\in H_{0}({\mathbb {P} }^{1};{\mathbb {Z} })}.

等價(jià)定義

同時(shí)，有很多處理這個(gè)定義的辦法：陳省身最初使用了微分幾何；在代數(shù)拓?fù)渲校愵愂峭ㄟ^同倫理論定義的，該理論提供了把E 和一個(gè)分類空間(在這個(gè)情況下是格拉斯曼流形聯(lián)系起來的映射；還有亞歷山大·格羅滕迪克的一種辦法，表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現(xiàn)在代數(shù)幾何中。

直觀地說，陳類和向量叢的截面"所需要的0"的個(gè)數(shù)相關(guān)。

殆復(fù)流形的陳類和配邊

陳類的理論導(dǎo)致了殆復(fù)流形的配邊不變量的研究。

若M是一個(gè)復(fù)流形，則其切叢是一個(gè)復(fù)向量叢。M的陳類定義為其切叢的陳類。若M是緊的2d維的，則每個(gè)陳類中的2d次單項(xiàng)式可以和M的基本類配對(duì)，得到一個(gè)整數(shù)，稱為M的陳數(shù)。

若M′ 是另一個(gè)同維度的近復(fù)流形，則它和M配邊，當(dāng)且僅當(dāng)M′和M陳數(shù)相同.

推廣

陳類理論有個(gè)一般化，其中普通的上同調(diào)由一個(gè)廣義上同調(diào)群理論所代替。使得這種一般化成為可能的稱為復(fù)可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同，但有一個(gè)關(guān)鍵的不同：計(jì)算線叢的張量積的第一陳類的規(guī)則不是各個(gè)因子的（普通）加法而是一個(gè)形式化群法則(formal group law)。

參考文獻(xiàn)

Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X,MR0015793 

Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.

Chern, Shiing-ShenComplex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

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