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方程的數(shù)學(xué)形式

含時(shí)薛定諤方程

含時(shí)薛定諤方程描述物理系統(tǒng)隨時(shí)間演化，其最廣義形式為：

其中， H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} 是表征波函數(shù)總哈密頓哈密頓算符， Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 是物理系統(tǒng)的波函數(shù)， i {\displaystyle虛數(shù)單位 是虛數(shù)單位， ? ? --> {\displaystyle \hb普朗克} 是約化普朗克常數(shù)， ? ? --> / ? ? --> t {\displaystyle \partial /\partial t} 是對(duì)于時(shí)間 t {\displaystyle t} 的偏微分。

  圖為波函數(shù)在某一時(shí)刻的實(shí)部，橫軸是位置坐標(biāo)軸。該波函數(shù)描述粒子移動(dòng)于自由空間的物理行為。該波函數(shù)滿足勢(shì)函數(shù) V {\displaystyle V} 為零的薛定諤方程。點(diǎn)撃這里即可觀看這波函數(shù)的實(shí)部隨時(shí)間演化的動(dòng)畫。

在三維空間里，移動(dòng)于位勢(shì) V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} 的單獨(dú)粒子，其含時(shí)薛定諤方程可以更具體地表示為

其中， m {\displaystyle m} 是質(zhì)量， Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是參數(shù)為位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 、時(shí)間 t {\displaystyle t} 的波函數(shù)， ? ? --> 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 是拉普拉斯算符。

術(shù)語“薛定諤方程”可以指廣義形式的薛定諤方程，也可指具體形式的薛定諤方程。廣義形式的薛定諤方程名如其實(shí)，可以應(yīng)用于廣泛量子力學(xué)領(lǐng)域，表達(dá)從狄拉克方程到量子場(chǎng)論的各種方程，只要將哈密頓算符的各種復(fù)雜表達(dá)式代入即可。通常，具體形式的薛定諤方程所描述的系統(tǒng)是實(shí)際系統(tǒng)的簡(jiǎn)化近似模型，這是為了要避開不必要的復(fù)雜數(shù)算。對(duì)于大多數(shù)案例，所得到的結(jié)果相當(dāng)準(zhǔn)確；但是對(duì)于相對(duì)論性案例，結(jié)果則并不令人滿意。對(duì)于更詳盡的細(xì)節(jié)，請(qǐng)參閱相對(duì)論性量子力學(xué)。

應(yīng)用薛定諤方程時(shí)，必須先給出哈密頓算符的表達(dá)式，因此會(huì)涉及到計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能；將算符表達(dá)式代入薛定諤方程，再將所得偏微分方程加以解析，即可找到波函數(shù)。關(guān)于系統(tǒng)的量子態(tài)的信息，全部都會(huì)包含在波函數(shù)中。

不含時(shí)薛定諤方程

不含時(shí)薛定諤方程與時(shí)間無關(guān)，它預(yù)言波函數(shù)可以形成駐波，稱為定態(tài)（在原子物理學(xué)里，又稱為軌道，例如，原子軌道或分子軌道），假若能夠計(jì)算出這些定態(tài)，分析出其量子行為，則解析含時(shí)薛定諤方程會(huì)變得更為簡(jiǎn)易。不含時(shí)薛定諤方程為描述定態(tài)的方程。只有當(dāng)哈密頓量不與時(shí)間顯性相關(guān)，才會(huì)使用這方程。 廣義形式的不含時(shí)薛定諤方程為

其中， ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 是不含時(shí)波函數(shù)， E {\displaystyle E} 是能量。

這方程的詮釋為，假若將哈密頓算符作用于波函數(shù) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 時(shí)，得到的結(jié)果與同樣波函數(shù) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 成正比，則波函數(shù) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 處于定態(tài)，比例常數(shù) E {\displaystyle E} 是量子態(tài) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 的能量。在這里， ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 標(biāo)記設(shè)定的波函數(shù)和其對(duì)應(yīng)的量子態(tài)。這方程為又稱為“定態(tài)薛定諤方程”，引用線性代數(shù)術(shù)語，這方程為“能量本征薛定諤方程”， E {\displaystyle E} 是“能量本征值”，或“本征能量”。

在三維空間里，處于位勢(shì) V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} 的單獨(dú)粒子，其不含時(shí)薛定諤方程可以更具體地表示為

歷史背景與發(fā)展

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設(shè)，因此發(fā)現(xiàn)將能量 E {\displaystyle E} 與頻率 ν ν --> {\displaystyle \nu } 關(guān)聯(lián)在一起的普朗克關(guān)系式 E = h ν ν --> {\displaystyle E=h\nu } 。 阿爾伯特·愛因斯坦特·愛因斯坦從對(duì)于光電效應(yīng)的研究又給予這關(guān)系式嶄新的詮釋：頻率為 ν ν --> {\displaystyle \nu } 的光子擁有的能量為 h ν ν --> {\displaystyle h\nu } ；其中， h {\displaystyle h} 因子是普朗克常數(shù)。 這一點(diǎn)子成為后來波粒二象性概念的早期路標(biāo)之一。由于在狹義相對(duì)論里，能量與動(dòng)量的關(guān)聯(lián)方式類似頻率與波數(shù)的關(guān)聯(lián)方式，因此可以揣測(cè)，光子的動(dòng)量 p {\displaystyle p} 與波長(zhǎng) λ λ --> {\displaystyle \lambda } 成反比，與波數(shù) k {\displaystyle k} 成正比，以方程來表示這關(guān)系式，

路易·德布羅意認(rèn)為，不單光子遵守這關(guān)系式，所有粒子都遵守這關(guān)系式。他于1924年進(jìn)一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動(dòng)性與粒子性，這性質(zhì)稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質(zhì)。電子是一種物質(zhì)波，稱為“電子波”。電子的能量與動(dòng)量分別決定了伴隨它的物質(zhì)波所具有的頻率與波數(shù)。在原子里，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉(zhuǎn)頻率只能呈某些離散數(shù)值。 這些量子化軌道對(duì)應(yīng)于離散能級(jí)。從這些點(diǎn)子，德布羅意復(fù)制出玻爾模型的能級(jí)。

在1925年，瑞士蘇黎世每?jī)芍軙?huì)舉辦一場(chǎng)物理學(xué)術(shù)研討會(huì)。有一次，主辦者彼得·德拜邀請(qǐng)薛定諤講述關(guān)于德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時(shí)期，薛定諤正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關(guān)于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會(huì)里，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動(dòng)方程。他的意見給予薛定諤極大的啟發(fā)與鼓舞，他開始尋找這波動(dòng)方程。檢試此方程最簡(jiǎn)單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內(nèi)部束縛電子的物理行為，而必能復(fù)制出玻爾模型的理論結(jié)果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

很快，薛定諤就通過德布羅意論文的相對(duì)論性理論，推導(dǎo)出一個(gè)相對(duì)論性波動(dòng)方程，他將這方程應(yīng)用于氫原子，計(jì)算出束縛電子的波函數(shù)。但很可惜。因?yàn)檠Χㄖ@沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導(dǎo)出的精細(xì)結(jié)構(gòu)公式不符合索末菲模型。 他只好將這方程加以修改，除去相對(duì)論性部分，并用剩下的非相對(duì)論性方程來計(jì)算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當(dāng)困難，在其好朋友數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾鼎力相助下， 他復(fù)制出了與玻爾模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發(fā)表相對(duì)論性部分，只把非相對(duì)論性波動(dòng)方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，他正式發(fā)表了這論文。

這篇論文迅速在量子學(xué)術(shù)界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個(gè)迷語困惑多時(shí)，渴慕知道答案的孩童，現(xiàn)在終于聽到了解答”。愛因斯坦稱贊，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛定諤已做出決定性貢獻(xiàn)。由于薛定諤所創(chuàng)建的波動(dòng)力學(xué)涉及到眾所熟悉的波動(dòng)概念與數(shù)學(xué)，而不是矩陣力學(xué)中既抽象又陌生的矩陣代數(shù)，量子學(xué)者都很樂意地開始學(xué)習(xí)與應(yīng)用波動(dòng)力學(xué)。自旋的發(fā)現(xiàn)者喬治·烏倫貝克驚嘆，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾夫?qū)づ堇J(rèn)為，這論文應(yīng)可算是近期最重要的著作。

薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數(shù)的量子行為。在那時(shí)，物理學(xué)者尚不清楚如何詮釋波函數(shù)，薛定諤試圖以電荷密度來詮釋波函數(shù)的絕對(duì)值平方，但并不成功。 1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地詮釋了波函數(shù)的物理意義 。但是薛定諤與愛因斯坦觀點(diǎn)相同，都不贊同這種統(tǒng)計(jì)或概率方法，以及它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)坍縮。愛因斯坦主張，量子力學(xué)是個(gè)決定性理論的統(tǒng)計(jì)近似。在薛定諤有生的最后一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。

含時(shí)薛定諤方程導(dǎo)引

雖然含時(shí)薛定諤方程能夠啟發(fā)式地由幾個(gè)假設(shè)推導(dǎo)出來，但為便于論述，在作理論量子力學(xué)研究時(shí)，經(jīng)常會(huì)直接將這方程當(dāng)作一個(gè)基本假定。

啟發(fā)式導(dǎo)引 1

含時(shí)薛定諤方程的啟發(fā)式導(dǎo)引建立于幾個(gè)前提：

粒子的總能量 E {\displaystyle E} 可以經(jīng)典地表示為動(dòng)能 T {\displaystyle T} 與勢(shì)能 V {\displaystyle V} 的總和：

愛因斯坦于提出光電效應(yīng)時(shí)，指出光子的能量 E {\displaystyle E} 與對(duì)應(yīng)的電磁波的頻率 f {\displaystyle f} 成正比：

德布羅意提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性，都是一種波動(dòng)。微觀粒子的動(dòng)量 p {\displaystyle p} 與伴隨的物質(zhì)波波長(zhǎng) λ λ --> {\displaystyle \lambda } 有關(guān)：

假設(shè)波函數(shù)是個(gè)復(fù)值平面波：

則其對(duì)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為

這偏導(dǎo)數(shù)與能量有關(guān)：

類似地，波函數(shù)對(duì)于位置的二次偏導(dǎo)數(shù)為

這偏導(dǎo)數(shù)與動(dòng)量有關(guān)：

引用經(jīng)典力學(xué)的能量守恒定律，單獨(dú)粒子的總能量 E {\displaystyle E} 為

因此，單獨(dú)粒子移動(dòng)于一維位勢(shì) V ( x ) {\displaystyle V(x)} 的薛定諤方程為

設(shè)定哈密頓函數(shù) H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} 為

就可以得到廣義形式的薛定諤方程：

啟發(fā)式導(dǎo)引 2

  薛定諤將哈密頓類比延伸至量子力學(xué)與波動(dòng)光學(xué)之間。

“哈密頓類比”是威廉·哈密頓在研究經(jīng)典力學(xué)時(shí)給出的理論，又稱為“光學(xué)-力學(xué)類比”；哈密頓指出，在經(jīng)典力學(xué)里粒子的運(yùn)動(dòng)軌道，就如同在幾何光學(xué)里光線的傳播路徑；垂直于這軌道的等作用量曲面，就如同垂直于路徑的等傳播時(shí)間曲面；描述粒子運(yùn)動(dòng)的最小作用量原理，就如同描述光線傳播的費(fèi)馬原理。哈密頓發(fā)現(xiàn)，使用哈密頓-雅可比方程，可以推導(dǎo)出最小作用量原理與費(fèi)馬原理；同樣的形式論，可以描述光的物理行為，不論光是由遵守費(fèi)馬原理的光線組成，還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。

很多光的性質(zhì)，例如，衍射、干涉等等，無法用幾何光學(xué)的理論來作解釋，必須要用到波動(dòng)光學(xué)的理論來證實(shí)。這意味著幾何光學(xué)不等價(jià)于波動(dòng)光學(xué)，幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)的波長(zhǎng)超短于粒子軌道曲率半徑的極限案例。哈密頓又研究發(fā)現(xiàn)，使用哈密頓-雅可比方程也可以描述波動(dòng)光學(xué)里遵守惠更斯原理的光波，只要將光線的等傳播時(shí)間曲面改為光波的波前。薛定諤尋思，經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)之間的關(guān)系，就如同幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)之間的關(guān)系；哈密頓-雅可比方程應(yīng)該對(duì)應(yīng)于量子力學(xué)的波動(dòng)方程在某種極限的案例，而這極限應(yīng)該也是物質(zhì)波波長(zhǎng)超短于粒子軌道曲率半徑的極限（或按照對(duì)應(yīng)原理，普朗克常數(shù)趨于0的極限）；按照先前哈密頓類比的模式，依樣畫葫蘆，應(yīng)該可以找到正確形式的波動(dòng)方程。這想法很正確，經(jīng)過一番努力，他成功地推導(dǎo)出薛定諤方程。

假設(shè)一個(gè)粒子移動(dòng)于顯不含時(shí)位勢(shì) V ( r ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )} ，它的哈密頓-雅可比方程為

其中， S ( r , a ; t ) {\displaystyle S(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}};t)} 是哈密頓主函數(shù)， a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 是運(yùn)動(dòng)常數(shù)矢量。

由于位勢(shì)顯性不含時(shí)，哈密頓主函數(shù)可以分離成兩部分：

其中，顯性不含時(shí)的函數(shù) W ( r , a ) {\displaystyle W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})} 是哈密頓特征函數(shù)， E {\displaystyle E} 是能量。

將哈密頓主函數(shù)公式代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運(yùn)算，可以得到

哈密頓主函數(shù)對(duì)于時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)是

哈密頓主函數(shù) S {\displaystyle S} 的常數(shù)等值曲面 σ σ --> 0 {\displaystyle \sigma _{0}} 在空間移動(dòng)的方程為

所以，在設(shè)定等值曲面的正負(fù)面之后， σ σ --> 0 {\displaystyle \sigma _{0}} 法線著法線方向速度的速度 u {\displaystyle u} 是

這速度 u {\displaystyle u} 是相速度，而不是粒子的移動(dòng)速度 v {\displaystyle v} ：

試想 σ σ --> 0 {\displaystyle \sigma _{0}} 為一個(gè)相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，假設(shè)粒子的波函數(shù)所擁有的相位與 S {\displaystyle S} 成正比：

其中， κ κ --> {\displaystyle \kappa } 是常數(shù)， A ( r ) {\displaystyle A(\mathbf {r} )} 是參數(shù)為位置的系數(shù)函數(shù)。

將哈密頓主函數(shù)的公式代入 Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 波函數(shù)，

注意到 E / κ κ --> {\displaystyle E/\kappa } 的量綱必須是頻率，薛定諤靈機(jī)一動(dòng)，想到愛因斯坦的光電效應(yīng)理論 E = ? ? --> ω ω --> {\displaystyle E=\hbar \omega } ；其中， ? ? --> {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數(shù)， ω ω --> {\displaystyle \omega } 是角頻率。他嘗試設(shè)定 κ κ --> = ? ? --> {\displaystyle \kappa =\hbar } ，粒子的波函數(shù) Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 變?yōu)?/span>

其中， ψ ψ --> ( r ) = A ( r ) e i W ( r ) / ? ? --> {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }} 。

Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 的波動(dòng)方程為

將 Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 波函數(shù)代入波動(dòng)方程，經(jīng)過一番運(yùn)算，可以得到

注意到 E Ψ Ψ --> = i ? ? --> ? ? --> Ψ Ψ --> ? ? --> t {\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}} 。稍加編排，即可推導(dǎo)出含時(shí)薛定諤方程：

重要性質(zhì)

歸一性

在量子力學(xué)里，所有事件發(fā)生的概率，其總和等于1，這特性稱為歸一性，以方程表示為

為了滿足這特性，必須將波函數(shù)歸一化。薛定諤方程能夠自動(dòng)地維持波函數(shù)的歸一性。假若，某波函數(shù) Φ Φ --> ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,t)} 尚未被歸一化。由于薛定諤方程為線性方程， Φ Φ --> ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,t)} 與任何常數(shù)的乘積還是這個(gè)薛定諤方程的波函數(shù)。設(shè)定 ? ? --> ( x ) = A Φ Φ --> ( x , 0 ) {\displaystyle \phi (x)=A\Phi (x,0)} ；其中， A {\displaystyle A} 是歸一常數(shù)，使得

這樣，新波函數(shù) Φ Φ --> A ( x , t ) = A Φ Φ --> ( x , t ) {\displaystyle \Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t)} 還是這個(gè)薛定諤方程的解答，而且， Φ Φ --> A ( x , 0 ) {\displaystyle \Phi _{A}(x,0)} 已經(jīng)被歸一化了。在這里，特別注意到歸一性方程的波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 含時(shí)間，而對(duì)于位置的積分仍舊可能含時(shí)間。在某個(gè)時(shí)間的歸一化，并不保證隨著時(shí)間的流易，波函數(shù)仍舊保持歸一化。薛定諤方程有一個(gè)優(yōu)良性質(zhì)：它可以自動(dòng)地保持波函數(shù)的歸一化。這樣，量子系統(tǒng)永遠(yuǎn)地滿足歸一性。所以，薛定諤方程能夠自動(dòng)地維持波函數(shù)的歸一性。

證明

總概率對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

思考含時(shí)薛定諤方程，

其復(fù)共軛是

將這兩個(gè)方程相減，可以得到

所以，總概率對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

在無窮遠(yuǎn)的極限，符合實(shí)際物理的波函數(shù)必須等于零：

因此，薛定諤方程會(huì)維持波函數(shù)的歸一化性質(zhì)，這性質(zhì)不會(huì)隨著時(shí)間的流易而改變。

線性方程

薛定諤方程是一個(gè)線性方程。滿足薛定諤方程的波函數(shù)擁有線性關(guān)系。假設(shè)波函數(shù) Ψ Ψ --> A {\displaystyle \Psi _{A}} 與 Ψ Ψ --> B {\displaystyle \Psi _{B}} 是薛定諤方程的解，則任意線性組合 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 也是薛定諤方程的解：

其中， a {\displaystyle a} 與 b {\displaystyle b} 是常數(shù)。

這線性組合可以延伸至任意多個(gè)波函數(shù)。因此，波函數(shù)的疊加也是同樣薛定諤方程的解。這種疊加性質(zhì)是量子力學(xué)最為奧妙的性質(zhì)之一。量子系統(tǒng)可以同時(shí)處于兩個(gè)以上的經(jīng)典狀態(tài)；一個(gè)粒子可以同時(shí)出現(xiàn)在幾個(gè)不同位置，可以同時(shí)擁有不同的能量。

證明

根據(jù)含時(shí)薛定諤方程，

因此，這兩個(gè)解的線性組合 Ψ Ψ --> = a Ψ Ψ --> A + b Ψ Ψ --> B {\displaystyle \Psi =a\Psi _{A}+b\Psi _{B}} 為

所以， Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 也是這含時(shí)薛定諤方程的解，這證明了含時(shí)薛定諤方程是一個(gè)線性方程。類似地，也可以證明不含時(shí)薛定諤方程是一個(gè)線性方程。

不含時(shí)薛定諤方程導(dǎo)引

不含時(shí)薛定諤方程與時(shí)間無關(guān)，又稱為“能量本征薛定諤方程”或“定態(tài)薛定諤方程”，可以用來計(jì)算粒子的本征能量和其它相關(guān)的量子性質(zhì)。應(yīng)用分離變數(shù)法，猜想 Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 的形式為

其中， E {\displaystyle E} 是分離常數(shù)，稍后，會(huì)推論出 E {\displaystyle E} 就是能量， ψ ψ --> E ( x ) {\displaystyle \psi _{E}(x)} 是對(duì)應(yīng)于 E {\displaystyle E} 的函數(shù)。

將這猜想解代入含時(shí)薛定諤方程，經(jīng)過一番運(yùn)算，可以推導(dǎo)出一維不含時(shí)薛定諤方程

類似地，可以推導(dǎo)出三維不含時(shí)薛定諤方程

重要性質(zhì)

定態(tài)

波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , t ) = ψ ψ --> E ( x ) e ? ? --> i E t / ? ? --> {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }} 所代表的量子態(tài)稱為定態(tài)，雖然波函數(shù)本身與時(shí)間有關(guān)，概率密度 P ( x ) = Ψ Ψ --> ? ? --> ( x , t ) Ψ Ψ --> ( x , t ) = | ψ ψ --> E ( x ) | 2 {\displaystyle P(x)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=|\psi _{E}(x)|^{2}} 只與位置有關(guān)。由于能量 E {\displaystyle E} 是個(gè)常數(shù)，定態(tài)所有與時(shí)間無關(guān)的可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值都是常數(shù)：

波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 的相位因子 e ? ? --> i E t / ? ? --> {\displaystyle e^{-iEt/\hbar }} 在計(jì)算過程中會(huì)自動(dòng)刪除，因此可以忽略此相位因子，而改使用不含時(shí)波函數(shù) ψ ψ --> E ( x ) {\displaystyle \psi _{E}(x)} 來指稱定態(tài)。處于定態(tài)的系統(tǒng)永遠(yuǎn)是固定不變的。

明確能量

在經(jīng)典力學(xué)里，哈密頓量 H {\displaystyle H} 是系統(tǒng)的總能量：

在量子力學(xué)里，對(duì)應(yīng)的哈密頓算符 H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} 的形式為

其本征函數(shù)為 ψ ψ --> E ( x ) {\displaystyle \psi _{E}(x)} ，本征值為 E {\displaystyle E} ，是系統(tǒng)的總能量：

H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} 、 H ^ ^ --> 2 {\displaystyle {\hat {H}}^{2}} 的期望值為

因此，對(duì)于定態(tài)系統(tǒng)多次重復(fù)測(cè)量哈密頓量，所得到數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，換句話說，每次測(cè)量都會(huì)得到同樣的答案 E {\displaystyle E} 。

線性組合

不含時(shí)薛定諤方程有無窮多個(gè)本征函數(shù)解 ψ ψ --> n ( x ) {\displaystyle \psi _{n}(x)} ，每一個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)能量本征值 E n {\displaystyle E_{n}} ：

含時(shí)薛定諤方程的一般解是這些解的線性組合：

其中， c n {\displaystyle c_{n}} 是權(quán)重系數(shù)。

為了滿足歸一性，

這線性組合與時(shí)間有關(guān)，對(duì)應(yīng)的概率密度與各種期望值都與時(shí)間有關(guān)。

物理意義

薛定諤方程和它的解在物理學(xué)造成突破性的思維發(fā)展。薛定諤方程是一種嶄新的方程，關(guān)于它的解析引導(dǎo)出很多不同尋常、料想未及的后果。

統(tǒng)計(jì)詮釋

在經(jīng)典力學(xué)里，運(yùn)動(dòng)于空間的粒子在任何時(shí)刻，都具有確定的位置與動(dòng)量。這些物理量按照牛頓運(yùn)動(dòng)定律進(jìn)行決定性的演化。在量子力學(xué)里，粒子并不具有確定的位置與動(dòng)量，對(duì)于這些物理量進(jìn)行測(cè)量，會(huì)得到遵守粒子運(yùn)動(dòng)的概率分布的隨機(jī)結(jié)果。

從含時(shí)薛定諤方程可以計(jì)算出粒子的波函數(shù)。按照廣義統(tǒng)計(jì)詮釋，由波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} ，可以計(jì)算出粒子運(yùn)動(dòng)的概率分布 P ( x , t ) {\displaystyle P(x,t)} ：

因此，可以預(yù)測(cè)在某時(shí)刻，粒子處于某區(qū)域的概率。薛定諤方程描述粒子的波函數(shù)怎樣隨著時(shí)間流易而產(chǎn)生決定性演化。盡管可以計(jì)算出波函數(shù)的完整形式，也可以計(jì)算出粒子運(yùn)動(dòng)的概率分布，但薛定諤方程無法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)粒子在哪個(gè)時(shí)刻會(huì)處于哪個(gè)區(qū)域。

從波動(dòng)觀分析，薛定諤方程乃是一個(gè)波動(dòng)方程，它完美地描述一個(gè)與時(shí)間、位置有關(guān)的量子波所發(fā)生的運(yùn)動(dòng)行為與所具有的量子性質(zhì)，而解答這波動(dòng)方程的波函數(shù)可以詮釋為“在某時(shí)間、某位置發(fā)生相互作用的概率輻”。這寬松的詮釋方式可以適用于波動(dòng)觀或粒子觀。

不確定性原理

描述粒子物理行為的薛定諤方程是一種波動(dòng)方程，它的波函數(shù)解答是一種延伸于空間的物質(zhì)波，具有波動(dòng)性。在波動(dòng)力學(xué)里，做傅里葉分析可以得到一個(gè)重要結(jié)果，即假設(shè)波的波長(zhǎng)越為明確，則波的位置越為不明確；反之亦然。物質(zhì)波也遵守這結(jié)果，在量子力學(xué)里，這結(jié)果蛻化為不確定性原理，即粒子的位置與動(dòng)量不可同時(shí)被確定，位置的不確定性 Δ Δ --> x {\displaystyle \Delta {x}} 與動(dòng)量的不確定性 Δ Δ --> p {\displaystyle \Delta {p}} 遵守不等式

不確定性原理表明了量子測(cè)量的不確定性，這是量子系統(tǒng)內(nèi)秉的性質(zhì)。由此性質(zhì)還可以推導(dǎo)出粒子的波動(dòng)性。

量子測(cè)量

  隨著時(shí)間流易，雙縫實(shí)驗(yàn)展示出電子累積于探測(cè)屏。

根據(jù)哥本哈根詮釋，粒子的運(yùn)動(dòng)遵守薛定諤方程，直到因被測(cè)量而發(fā)生波函數(shù)坍縮為止。假設(shè)對(duì)于某系統(tǒng)的某可觀察量做測(cè)量，而描述這系統(tǒng)的波函數(shù)是由這可觀察量的幾個(gè)本征函數(shù)量子疊加而成，每次對(duì)于這可觀察量做測(cè)量只能得到本征函數(shù)的本征值，不能得到任何其它數(shù)值。當(dāng)波函數(shù)坍縮現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，由于粒子與測(cè)量?jī)x器彼此相互作用，系統(tǒng)的波函數(shù)會(huì)按照概率分布隨機(jī)的約化為原本幾個(gè)本征函數(shù)中的單獨(dú)一個(gè)本征函數(shù)。 這是量子測(cè)量的關(guān)鍵要素，將波函數(shù)與可觀察量，如位置或動(dòng)量，關(guān)聯(lián)在一起。

量子系統(tǒng)隨著時(shí)間流易而演化的兩個(gè)過程為薛定諤方程預(yù)測(cè)的演化、波函數(shù)坍縮。有些教科書會(huì)將這兩種過程分別當(dāng)作量子力學(xué)的假設(shè)，然后從假設(shè)推導(dǎo)出量子力學(xué)的其他理論結(jié)果。 很多物理學(xué)者認(rèn)為，從薛定諤方程無法推導(dǎo)出波函數(shù)坍縮。這兩種過程具有迥然不同的性質(zhì)。薛定諤方程預(yù)測(cè)的演化具有決定性，能夠從最初波函數(shù)預(yù)測(cè)未來的最終波函數(shù)；它還具有逆反性，能夠?qū)r(shí)間逆反地從最終態(tài)演化回最初態(tài)。波函數(shù)坍縮具有非決定性，從最初態(tài)按照概率分布隨機(jī)地約化至最終態(tài)，無法預(yù)測(cè)這最終態(tài)到底是什么；它還具有非逆反性，測(cè)量動(dòng)作將量子態(tài)的信息發(fā)掘出來，這是一種無法時(shí)間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。

量子隧穿效應(yīng)

  在勢(shì)壘左邊的粒子沒有足夠能量越過勢(shì)壘。但是，它可以量子隧穿到勢(shì)壘右邊。

在經(jīng)典力學(xué)里，當(dāng)一個(gè)圓球慢慢地滾上一座高山，假若它沒有足夠能量翻過山頂?shù)搅硪贿?，它?huì)停止?jié)L動(dòng)，往反方向滾回。但是，薛定諤方程預(yù)測(cè)，這圓球跑到另一邊的概率大于零，盡管它的能量不足以爬到山頂，這種波動(dòng)稱為量子隧穿效應(yīng)，無法用微粒說來解釋這種效應(yīng)。特別是對(duì)于微觀粒子與適當(dāng)形狀的勢(shì)壘，做實(shí)驗(yàn)很容易就可觀察到這種效應(yīng)。阿爾法衰變就是因?yàn)榘柗Ｗ訑[脫了本來不可能擺脫的強(qiáng)作用力束縛而從原子核逃逸出來的現(xiàn)象。

粒子的波動(dòng)性

非相對(duì)論性薛定諤方程是波動(dòng)方程。遵守這方程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的粒子因此會(huì)顯示出波動(dòng)。雙縫實(shí)驗(yàn)是一個(gè)范例，它能夠展示出粒子通常不會(huì)進(jìn)行的波動(dòng)行為。從兩條狹縫傳播出來的物質(zhì)波在某些位置會(huì)相長(zhǎng)干涉，在某些位置又會(huì)相消干涉，因此形成復(fù)雜的干涉圖樣。直覺而言，假設(shè)，從發(fā)射源到探測(cè)屏，每次只會(huì)出現(xiàn)單獨(dú)一個(gè)粒子，即每次只有一個(gè)粒子獨(dú)自通過兩條狹縫，按照微粒說，累積多次發(fā)射不應(yīng)該形成干涉圖樣。但是，做實(shí)驗(yàn)可以實(shí)際觀察到這干涉圖樣，如同右圖從真正實(shí)驗(yàn)獲得的圖樣所展示。這意味著，雖然每次只有一個(gè)粒子通過狹縫，這粒子可以同時(shí)通過兩條狹縫，自己與自己互相干涉。 光子、電子、中子、原子、甚至分子，都可以表現(xiàn)出這種奇異的量子行為 。

相對(duì)論性薛定諤方程

薛定諤方程并沒有涉及到相對(duì)論效應(yīng)。對(duì)于伽利略變換，薛定諤方程的形式不變。 對(duì)于洛倫茲變換，薛定諤方程的形式會(huì)改變。為了要涵蓋相對(duì)論效應(yīng)，必須將薛定諤方程加以延伸。試想 能量-動(dòng)量關(guān)系式 （ 英語 ： energy-momentum relation ） ，

其中， c {\displaystyle c} 是光速， m {\displaystyle m} 是靜止質(zhì)量。

將這關(guān)系式內(nèi)的能量與動(dòng)量改為其對(duì)應(yīng)的算符，將整個(gè)關(guān)系式作用于波函數(shù)，可以得到

稍加編排，可以得到克萊因-戈?duì)柕欠匠蹋?/span>

其中， ? ? --> 2 = 1 c 2 ? ? --> 2 ? ? --> t 2 ? ? --> ? ? --> 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}} 是達(dá)朗貝爾算符， μ μ --> = m c ? ? --> {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}} 。

對(duì)于洛倫茲變換，這方程的形式不會(huì)改變，是個(gè)洛倫茲不變式。但是，它是時(shí)間的二階微分方程，玻恩的統(tǒng)計(jì)詮釋不適用于它的解。 它不適用于自旋1/2粒子，只適用于零自旋粒子。另外，這方程的解擁有正頻率和負(fù)頻率。平面波波函數(shù)解的色散關(guān)系式（dispersion relation）為

其中， ω ω --> {\displaystyle \omega } 是角頻率，可以是正值或負(fù)值。

對(duì)量子力學(xué)來說，正負(fù)角頻率或正負(fù)能量，是一個(gè)很嚴(yán)峻的問題，因?yàn)闊o法從底端來限制能量的最低值。雖然如此，加以適當(dāng)?shù)脑忈?，這方程仍舊能夠正確地給出零自旋粒子的相對(duì)論性波函數(shù)。

將克萊因-戈?duì)柕欠匠套饕蚴椒纸?，從所得到的兩個(gè)因子算符中的一個(gè)，可以得到整個(gè)狄拉克方程：

其中， m {\displaystyle m} 是自旋-?粒子的質(zhì)量， r {\displaystyle \mathbf {r} } 、 t {\displaystyle t} 分別是空間位置、時(shí)間， β β --> = ( I 0 0 ? ? --> I ) {\displaystyle \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}} 、 α α --> i = ( 0 σ σ --> i σ σ --> i 0 ) {\displaystyle \alpha _{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}} 是系數(shù)矩陣， I {\displaystyle I} 是2×2單位矩陣， σ σ --> i {\displaystyle \sigma _{i}} 是泡利矩陣。

狄拉克方程乃是時(shí)間的一階微分方程，適用于自旋-?粒子。它的解稱為旋量，擁有四個(gè)分量，因此有四個(gè)線性獨(dú)立的解，其中兩個(gè)對(duì)應(yīng)于粒子，另外兩個(gè)對(duì)應(yīng)于反粒子。

解析方法

一般來說，解析薛定諤方程會(huì)用到下述這些方法：

量子攝動(dòng)理論

變分原理

量子蒙特卡羅 （ 英語 ： Quantum Monte Carlo ） 方法

密度泛函理論

WKB 近似與半經(jīng)典擴(kuò)展

對(duì)于某些特殊的狀況，可以使用特別方法：

有分析解的量子力學(xué)系統(tǒng)列表 （ 英語 ： List of quantum-mechanical systems with analytical solutions ）

哈特里-?？朔椒ㄅc 后哈特里-?？?（ 英語 ： Post-Hartree-Fock ） 方法。

離散Delta位勢(shì)阱方法

范例

自由粒子

當(dāng)位勢(shì)為零時(shí)，薛定諤方程為

這薛定諤方程有一個(gè)平面波解：

其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波矢， ω ω --> {\displaystyle \omega } 是角頻率。

將這平面波解代入薛定諤方程，可以得到色散關(guān)系式

由于粒子存在的概率等于 1 ，波函數(shù) Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 必須歸一化，才能夠表達(dá)出正確的物理內(nèi)涵。對(duì)于一般的自由粒子而言，這不是問題，因?yàn)?，自由粒子的波函?shù)，在位置空間或動(dòng)量空間都是局部性的，只有在某些局部區(qū)域才呈有限值，在其它區(qū)域的數(shù)值都很微小，可以被忽略。

在量子力學(xué)里，一個(gè)自由粒子的動(dòng)量與能量不需要呈特定的數(shù)值，自由粒子的波函數(shù)以波包形式來表示：

其中，積分區(qū)域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是 k {\displaystyle \mathbf {k} } -空間。

為了方便計(jì)算，只思考一維空間，

其中，振幅 A ( k ) {\displaystyle A(k)} 是線性疊加的系數(shù)函數(shù)。

從在時(shí)間 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} ，可以得到系數(shù)函數(shù)：

已知在時(shí)間 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} ，通過傅里葉變換，可以推導(dǎo)出在任何時(shí)間的波函數(shù) Ψ Ψ --> ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 。

一維諧振子

  束縛于諧振子位勢(shì)，八個(gè)能級(jí)最低的能量本征波函數(shù) ( n = 0 , 1 , … … --> 7 {\displaystyle n=0,\,1,\,\dots 7} ） 。橫軸表示位置 x {\displaystyle x} 。此圖未經(jīng)歸一化。

在一維諧振子問題里，質(zhì)量為 m {\displaystyle m} 的粒子移動(dòng)于位勢(shì) V ( x ) = 1 2 m ω ω --> 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} ，此粒子的哈密頓算符 H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} 為

每一個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)必需滿足由這哈密頓算符所形成的薛定諤方程 ：

采用位置表現(xiàn)，解析這個(gè)微分方程，使用冪級(jí)數(shù)方法?？梢缘玫揭蛔宓慕猓?/span>

其中，函數(shù) H n ( x ) = ( ? ? --> 1 ) n e x 2 d n d x n e ? ? --> x 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}} 為埃爾米特多項(xiàng)式。

對(duì)應(yīng)于函數(shù) H n {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}} 的能級(jí)為

一維諧振子的能譜有以下性質(zhì)：

能量被量子化，只能呈離散數(shù)值，即 ? ? --> ω ω --> {\displaystyle \hbar \omega } 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多種量子力學(xué)系統(tǒng)的特征。

最低能量（當(dāng) n = 0）不為零，而是 ? ? --> ω ω --> / 2 {\displaystyle \hbar \omega /2} ，被稱為“基態(tài)能量”或零點(diǎn)能量。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學(xué)，一振子執(zhí)行所謂的“零振動(dòng)”，且其平均動(dòng)能是正值。這樣的現(xiàn)象意義重大但并不那么顯而易見，因?yàn)橥ǔＤ芰康牧泓c(diǎn)并非一個(gè)有意義的物理量，因?yàn)榭梢匀我膺x擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態(tài)能量有許多的意涵，特別是在量子引力學(xué)里。

能級(jí)是等距的，諧振子問題的能譜與玻爾模型或盒中粒子問題不同。

球?qū)ΨQ位勢(shì)

假設(shè)單獨(dú)粒子移動(dòng)于球?qū)ΨQ位勢(shì) ，描述這量子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為

其中， μ μ --> {\displaystyle \mu } 是粒子的質(zhì)量， ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 是粒子的波函數(shù)， V ( r ) {\displaystyle V(r)} 是位勢(shì)， r {\displaystyle r} 是徑向距離。

采用球坐標(biāo) ( r , θ θ --> , ? ? --> ) {\displaystyle (r,\,\theta ,\,\phi )} ，將拉普拉斯算子 ? ? --> 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 展開：

滿足薛定諤方程的本征函數(shù) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 的形式為：

其中， R ( r ) {\displaystyle R(r)} ， Θ Θ --> ( θ θ --> ) {\displaystyle \Theta (\theta )} ， Φ Φ --> ( ? ? --> ) {\displaystyle \Phi (\phi )} ，都是函數(shù)。 Θ Θ --> ( θ θ --> ) {\displaystyle \Theta (\theta )} 與 Φ Φ --> ( ? ? --> ) {\displaystyle \Phi (\phi )} 時(shí)常會(huì)合并為一個(gè)函數(shù) Y l m ( θ θ --> , ? ? --> ) = Θ Θ --> ( θ θ --> ) Φ Φ --> ( ? ? --> ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )} ，稱為球諧函數(shù)。這樣，本征函數(shù) ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 的形式變?yōu)椋?/span>

角部分解答

參數(shù)為天頂角 θ θ --> {\displaystyle \theta }方位角方位角 ? ? --> {\displaystyle \phi } 的球諧函數(shù) Y l m {\displaystyle Y_{lm}} ，滿足角部分方程

其中，非負(fù)整數(shù) l {\displaystyle l} 、 m {\displaystyle m} 分別是角量子數(shù)、磁量子數(shù)。

磁量子數(shù)遵守關(guān)系式 ? ? --> l ≤ ≤ --> m ≤ ≤ --> l {\displaystyle -l\leq m\leq l} 。不同的 l {\displaystyle l} 與 m {\displaystyle m} 對(duì)應(yīng)于不同的球諧函數(shù)解答 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} ：

其中， i {\displaystyle i} 是虛數(shù)單位， P l m ( cos ? ? --> θ θ --> ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項(xiàng)式，以方程表示為

而 P l ( x ) {\displaystyle P_{l}(x)} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項(xiàng)式，以羅德里格公式表示為

徑向部分解答

將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一維二階微分方程：

設(shè)定函數(shù) u ( r ) = r R ( r ) {\displaystyle u(r)=rR(r)} ，代入方程，經(jīng)過一番繁雜的運(yùn)算，可以得到

徑向方程變?yōu)?/span>

其中，有效位勢(shì) V e f f ( r ) = V ( r ) + ? ? --> 2 l ( l + 1 ) 2 μ μ --> r 2 {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}} 。

這正是函數(shù)為 u ( r ) {\displaystyle u(r)} ，有效位勢(shì)為 V e f f {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }} 的薛定諤方程。徑向距離 r {\displaystyle r} 的定義域是從 0 {\displaystyle 0} 到 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 。新加入有效位勢(shì)的項(xiàng)目，稱為離心位勢(shì)。為了要更進(jìn)一步解析，必須知道位勢(shì)的形式。不同的位勢(shì)有不同的解答。

參見

量子數(shù)

類氫原子

薛定諤繪景

薛定諤貓

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