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內(nèi)容

歷史

早期的粒子物理模型包涵三種夸克—上夸克、下夸克和奇異夸克。在研究強(qiáng)子的弱衰變中，人們發(fā)現(xiàn)奇異數(shù)守恒的過程要比不守恒的過程進(jìn)行得快約20倍。為解釋此現(xiàn)象，卡比博引入了一個(gè)下夸克和奇異夸克（這兩種夸克有相同的量子數(shù)）之間的混合角θc。上夸克與下夸克和奇異夸克的相互作用耦合分別正比于此角的余弦（cosθc）和正弦（sinθc）。實(shí)驗(yàn)上sinθc約為0.23。

1973年，在一篇發(fā)表在日本期刊《理論物理學(xué)進(jìn)展》上的題為“弱相互作用可重整化理論中的CP破壞”的論文中，小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克。他們發(fā)現(xiàn)雖然一般的三維幺正矩陣有九個(gè)實(shí)參數(shù)，但是只有四個(gè)具有物理意義，而其它的都可以被吸收到夸克波函數(shù)的位相中而不為觀測(cè)。四個(gè)物理參數(shù)中的一個(gè)是位相因子，它提供了CP破壞的微觀機(jī)制，同時(shí)猜測(cè)了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎分享了2008年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

如今，尋找CKM矩陣參數(shù)的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。

參數(shù)化表示

CKM矩陣是一個(gè)三維幺正矩陣。 小林誠和益川敏英當(dāng)初給的表示是:

在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)化下，它可以由三個(gè)混合角（θ12，θ13，θ23）和一個(gè)相位（δ）表示為

其中（u，c，t）和（d，s，b）分別代表三代頂類型（上、粲、頂）和底類型（下、奇異、底）夸克，c12，s12等是cosθ12，sinθ12等的簡寫。 目前實(shí)驗(yàn)給出的數(shù)據(jù)：

實(shí)驗(yàn)上CKM矩陣參數(shù)滿足s13<<s23<<s12<<1。 描寫美國重要特性林肯·沃芬斯坦化表示是由美國物理學(xué)家林肯·沃芬斯坦給出的。記

截止到λ，CKM矩陣為

幺正三角形

CKM矩陣也可用所謂的幺正三角形來圖像表示。最常見的是正交關(guān)系

用測(cè)量最精確的項(xiàng)（VcdVcb）來歸一，此關(guān)系可以表示為復(fù)平面上的三角形，其三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（1，0） 和（ρ ρ -->ˉ ˉ -->{\displaystyle {\bar {\rho }}}，η η -->ˉ ˉ -->{\displaystyle {\bar {\eta }}}），如右圖所示。它的面積與位相參數(shù)表示化無關(guān)，是刻劃CP破壞的不變量。文獻(xiàn)中稱之為雅爾斯廓格（Jarlskog）不變量。

數(shù)學(xué)推導(dǎo)

CKM矩陣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)相當(dāng)平庸。首先任意一個(gè)三維矩陣可以寫成歐拉形式V=V2V1V3，其中對(duì)角塊矩陣V1，V2，V3有以下形式（X代表非零元）

其次注意到任意一個(gè)二維幺正矩陣可以表為（ε，η，ρ為幺模復(fù)數(shù)，c=cosθ，s=sinθ）

由此

因此可以通過一系列對(duì)角幺正矩陣作矩陣變換

使得

在上式中V2"仍是與V2同形的一般幺正矩陣， 但可以繼續(xù)在V上左、右相乘與V2"和V3"對(duì)易的對(duì)角矩陣，即 diag（α，β，β）型矩陣（α，β幺模），使得

最后將所有的對(duì)角（相位）變換矩陣吸收到夸克波函數(shù)中去，V2"，V1"，V3"相乘即得CKM矩陣。

參數(shù)測(cè)量

CKM矩陣元實(shí)驗(yàn)測(cè)定和最新數(shù)據(jù)的詳細(xì)資料，可參閱粒子數(shù)據(jù)組的網(wǎng)頁和出版物

沃爾芬斯坦參數(shù)：λ λ -->=0.22535± ± -->0.00065,A=0.817± ± -->0.015,ρ ρ -->ˉ ˉ -->=0.136± ± -->0.018,η η -->ˉ ˉ -->=0.348± ± -->0.014{\displaystyle \lambda =0.22535\pm 0.00065,A=0.817\pm 0.015,{\bar {\rho }}=0.136\pm 0.018,{\bar {\eta }}=0.348\pm 0.014}

獨(dú)立變量的計(jì)算

考慮有 N 代夸克 (2N 種風(fēng)味)，那么

一個(gè) N × N 的幺正矩陣需要 N 個(gè)實(shí)系數(shù)來給定 (因?yàn)殓壅仃嚌M足 VV = I，其中 V 是 V 的共軛轉(zhuǎn)置，而 I 是單位矩陣) 。

其中 2N ? 1 個(gè)系數(shù)不是物理上實(shí)際的，因?yàn)槊總€(gè)夸克都可以吸收一個(gè)相位 (質(zhì)量本征態(tài)和弱作用力本征態(tài)各可吸收一個(gè))，而全部的共同相位是不可觀測(cè)的。因此，不受相位選擇影響的自由變數(shù)總共有 N ? (2N ? 1) = (N ? 1) 個(gè)。

當(dāng) N = 2 時(shí)，獨(dú)立變量只有一個(gè)，就是兩代夸克間的混合角。當(dāng)初只有兩代夸克被發(fā)現(xiàn)時(shí)，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度，由尼古拉·卡比博發(fā)明。

在標(biāo)準(zhǔn)模型中，N = 3，總共有三個(gè)混合角和一個(gè) CP 破壞相位。

與重子生成的關(guān)系

CP破壞是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質(zhì)存在(即反物質(zhì)消失)的薩哈羅夫三條件（熱力學(xué)非平衡，重子數(shù)不守恒，C和CP對(duì)稱性不守恒）之一，因此CKM矩陣在粒子宇宙學(xué)中有著重要應(yīng)用。但是現(xiàn)在公認(rèn)的結(jié)論是實(shí)驗(yàn)測(cè)量到CP破壞的數(shù)量級(jí)，遠(yuǎn)不足以解釋觀測(cè)到的重子不對(duì)稱度，因此重子生成必須有其他的來源。

參考資料

書籍

鄭大培，李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的規(guī)范理論]. 牛津大學(xué)出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 

H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和現(xiàn)代粒子物理學(xué)]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 

論文

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