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歷史

李冶《益古演段》中的天元術(shù)

朱世杰《算學(xué)啟蒙》中的天元術(shù)

偉烈亞力《中國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)札記》論天元術(shù)

在中國(guó)數(shù)學(xué)史上最早創(chuàng)立天元概念的是北宋平陽(yáng)蔣周所著的《益古集》，隨后有博陸李文一撰《照膽》，鹿泉石信道撰《鈐經(jīng)》，平水劉汝諧撰《如積釋鎖》，處州李思聰《洞淵九容》后人才知道有天元。

李冶在東平獲得劉汝諧撰《如積釋鎖》，書中用十九個(gè)單字表示未知數(shù)的各個(gè) x 9 {\displaystyle x^{9}} 至 x ? ? --> 9 {\displaystyle x^{-9}} 的冪：

后來(lái)有太原彭澤彥出，反其道而行，以天元在下 。

《益古集》，《照膽》，《鈐經(jīng)》，《如積釋鎖》，《洞淵九容》等早期天元術(shù)著作今已失傳。李冶在《測(cè)圓海鏡》中使用天元在上的天元術(shù)。后來(lái)李冶又著《益古演段》，采用天元在下的次序。朱世杰《四元玉鑒》和《算學(xué)啟蒙》卷下也采用天元在下的次序。

例子

a 勾 b 股 c 弦

在天元術(shù)中，一次項(xiàng)系數(shù)旁記一“元”字（或在常數(shù)項(xiàng)旁記一“太”字）。

“元”以上的系數(shù)表示各正次冪，“元”以下的系數(shù)表示常數(shù)項(xiàng)和各負(fù)次冪）。

例：李冶《測(cè)圓海鏡》第二卷第十四問(wèn)方程： ? ? --> x 2 ? ? --> 680 x + 96000 = 0 {\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}

“元”以下的系數(shù)表示各正次冪，“元”以上的系數(shù)表示常數(shù)和各負(fù)次冪

例一：

李冶《益古演段》卷中第三十六問(wèn)中的方程= 3 x 2 + 210 x ? ? --> 20325 {\displaystyle 3x^{2}+210x-20325} 用天元術(shù)表示為:

其中“太”是常數(shù)項(xiàng)，算籌 打斜線表示該項(xiàng)常數(shù)為負(fù)數(shù)。 “元”相當(dāng)于未知數(shù)x

例二：

朱世杰《算學(xué)啟蒙》下卷第四問(wèn)

將代數(shù)方程

( 92 ? ? --> X ) X ? ? --> 2052 = 0 {\displaystyle (92-X)X-2052=0}

表示為天元方程：

例三：

朱世杰《四元玉鑒》《一氣混元》

根據(jù)條件 黃方乘直積得二十四步

b + c = 9 {\displaystyle b+c=9} x = a {\displaystyle x=a} (立天元一為勾) 由此得方程

x 5 ? ? --> 9 x 4 ? ? --> 81 x 3 + 729 x 2 = 3888 {\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}

解之，得勾=3

天元術(shù)與阿拉伯代數(shù)之差異

天元術(shù)與阿拉伯代數(shù)雖功用相同，但方法迥異。天元術(shù)可解高次方程，阿拉伯代數(shù)只能解一次，二次方程。天元術(shù)解根只求正根，但阿拉伯代數(shù)解二次方程得二根。

參見

《益古演段》 《算學(xué)啟蒙》 《四元玉鑒》

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